（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.4 弧长及扇形的面积同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为6，将长为 $4 \sqrt{3}$ 的线段 $Q F$ 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在 $A B$ 上滑动，同时点F在 $B C$ 上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段 $Q F$ 的中点M所经过的路线长为（）

A、 $π$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{6}$

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2. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ C = 60 °$ ， $A B = 2$ .以A为圆心， $A B$ 长为半径画 $\overset{⌢}{B D}$ ，点P为菱形内一点，连 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ .若 $P A = P B$ ，且 $∠ A P B = 120 °$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\frac{2}{3} π - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3} π - \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A B = 2$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，以点 $D$ 为圆心作圆心角为 $9 0^{∘}$ 的扇形 $D E F$ ，点 $C$ 恰在弧 $E F$ 上，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{π}{2} + \frac{1}{2}$ B、 $π - \frac{1}{4}$ C、 $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$

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4. 如图，正方形ABCD的边长为3，将长为2 $\sqrt{3}$ 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6} π$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$

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5. 如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（）

A、 $\frac{5}{4}$ π﹣ $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ π﹣5 C、2π﹣5 D、3π﹣2

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6. 如图，将边长为 $a$ 的正六边形 $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6}$ 在直线l上由图 $1$ 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 $2$ 位置时，顶点 $A_{1}$ 所经过的路径（）

A、 $\frac{8 + 4 \sqrt{3}}{3} π a$ B、 $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{3} π a$ C、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{3} π a$ D、 $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{6} π a$

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7. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食錦上添花。图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘)，通过测量得到AC=BD=12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（）

A、80π cm² B、40π cm² C、24π cm² D、2π cm²

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8. 如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S₁）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S₂），则S₁与S₂的关系为（）

A、S₁＝ $\frac{π}{3}$ S₂ B、S₁＜S₂ C、S₁＝S₂ D、S₁＞S₂

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9. 如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF.AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（）

A、10π B、12π C、 $\frac{25 π}{2}$ D、15π

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10. 如图，AB是⊙o直径，M，N是 $\overset{⌢}{A B}$ 上两点，C是 $\overset{⌢}{M N}$ 上任一点，∠ACB角平分线交⊙o于点D，∠BAC的平分线交CD于点E，当点C从M运动到N时，C、E两点的运动路径长之比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

11. 已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径作弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为cm．(结果保留π)

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12. 如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于 $\overset{⌢}{A B}$ 的 $\frac{1}{3}$ 处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 .

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，以A为圆心， $A D$ 长为半径画 $\overset{⌢}{D B}$ .以D为圆心， $D A$ 长为半径画 $\overset{⌢}{A C}$ ，形成如图“杯子”样的阴影部分，则阴影部分的面积为.

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14. 如图，半径为 2 的⊙O 与正六边形 ABCDEF 相切于点 C，F，则图中阴影部分的面积为.

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15. 如图，半径为4cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线PH交OA于点H.设 $△ O P H$ 的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为.

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三、解答题

16. 如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积．

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17. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C=90°．

(1)、CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；

(2)、若∠CDB=60°，AB=6，求 $\overset{⌢}{A D}$ 的长．

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18. 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．

(1)、求证：AD⊥CD；

(2)、若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， $\sqrt{3}$ ≈1.73，结果保留一位小数．)

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19.
如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB₁C₁ ．

(1)、在正方形网格中，作出△AB₁C₁；（不要求写作法）

(2)、设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）．

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四、综合题

20. 如图， $B C$ 是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧 $B E$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B E$ 分别交 $A D$ ， $A C$ 于 $F$ ， $G$ .

(1)、求证： $F A = F B$ ；

(2)、若 $B D = O D = 2$ ，求阴影部分面积.

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21. 如图，△ABC内接于☉O，∠A=60°，BE⊥AC于点E，延长线交☉O于点P。

(1)、如图①，若△ABC是等边三角形，求证：OE=PE；

(2)、如图②，当点A在直线BC上方运动时，（包括点B、C）作CQ⊥AB交BE于点H，
①求证：HE=PE

②若BC=3，求点H运动轨迹的长度。

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22. 如图，在矩形ABCD中，点E在边CB延长线上，AG⊥AE，交BC延长线于点G，边AG，DC交于点F，CF＝BE，以AD为半径的⊙D交边BG于点P，Q，交AG于点M，延长DM交边QG于点N．

(1)、求证：CG＝AB．

(2)、若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面积．

(3)、延长DC交⊙D于点H，且CH＝NG，记AB＝x，四边形AECF的面积为S，求S关于x的函数表达式．

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23. 如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作 $D C ⊥ A E$ 交AE的延长线于点C.

(1)、求证：CD是⊙O的切线.

(2)、若 $A C = 9$ ，求阴影部分的面积.

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（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.4 弧长及扇形的面积 同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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