（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

进入出卷网下载

一、选择题

1. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，正方形PQRS的顶点S，R在⊙O上，则S_正方形_PQRS：S_正方形_ABCD等于( )．

A、1 ：2 B、1：3 C、2：3 D、2：5

查看试题解析
2. 老师在微信群发了这样一个图：以线段 $A B$ 为边作正五边形 $A B C D E$ 和正三角形 $A B G$ ，连接 $A C$ ， $D G$ 交于点 $F$ ，下列四位同学的说法不正确的是（）

甲 $A C ⊥ A G$
乙 $D G$ 是 $A B$ 的垂直平分线
丙 $△ D C F$ 是等腰三角形
丁 $A C$ 与 $D E$ 平行

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

查看试题解析
3. 如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点 $A (1 ， 0)$ 同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第 $2023$ 次相遇地点的坐标为（　　）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(- 1 ， 0)$

查看试题解析
4. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，其中分别以 $A B ， C D$ 为直径在正方形内部做半圆，正方形的对角线交于O点，点E是以 $C D$ 为直径的半圆上的一个动点，则下列结论错误的是（）

A、若正方形的边长为10，连接 $B E$ ，则 $B E$ 的最小值为 $5 \sqrt{5} - 5$ B、连接 $D E ， O E$ ，则 $∠ O E D = 45 °$ C、连接 $D E ， C E$ ，若 $D E = 5$ ， $C E = 3$ ，则正方形的边长为 $\sqrt{34}$ D、若M，N分别为 $A B ， C D$ 的中点，存在点E，使得 $∠ M E N = 90 °$

查看试题解析
5. 如图， $⊙ O$ 半径为 $\sqrt{2}$ ，正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E在 $\overset{⌢}{A D C}$ 上运动，连接 $B E ，$ 作 $A F ⊥ B E$ ，垂足为F，连接 $C F$ .则 $C F$ 长的最小值为（）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、1 C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
6. 如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
7. 已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且 $M N ∥ B C$ ．在点 $M$ 从 $E$ 移向 $D$ （与 $D$ 不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（）

A、矩形MNPQ的面积与周长保持不变 B、矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大 C、矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大 D、矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小

查看试题解析
8. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 中，点 $P$ 是边 $A F$ 上的点，记图中各三角形的面积依次为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3} ， S_{4} ， S_{5}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $S_{1} + S_{2} = 2 S_{3}$ B、 $S_{1} + S_{4} = S_{3}$ C、 $S_{2} + S_{4} = 2 S_{3}$ D、 $S_{1} + S_{5} = S_{3}$

查看试题解析
9. 如图1，在边长为2的正六边形ABCDEF中，M是BC的中点，连接EM交AD于N点，若 $M N = a$ ，则表示实数a的点落在数轴上（如图2）标有四段中的（）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

查看试题解析
10. 我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形(如图)，则阴影部分的面积是（）

A、1 B、 $8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $16 - 8 \sqrt{3}$ D、 $20 - 10 \sqrt{3}$

查看试题解析

二、填空题

11. 如图，已知点M在正六边形 $A B C D E F$ 的边 $E F$ 上运动，如果 $A B = 1$ ，那么线段 $B M$ 的长度的取值范围是．

查看试题解析
12. 已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ A = 30 ° ， B C = 1 ，$ 含 $30 °$ 角的 $R t △ D E F$ 三个顶点分在 $R t △ A B C$ 的三边上，且直角顶点D在斜边 $A C$ 上，则 $C D$ 的长为．

查看试题解析
13. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤OC平分∠AOE．一定成立的结论有．

查看试题解析
14. 如图，在⊙O中，∠CBO=55°，CAO=15°，则∠AOB的度数是.

查看试题解析
15. 如图，边长为6的正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一动点（不与A ， B重合，点F是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一点，连接 $O E ， O F$ ，分别与 $A B ， B C$ 交于点G ， H ，且 $∠ E O F = 90 °$ ，有以下结论：① $O G = O H$ ；② $△ G B H$ 周长的最小值为 $6 + 2 \sqrt{2}$ ；③随着点E位置的变化，四边形 $O G B H$ 的面积始终为9.其中正确的是.（填序号）

查看试题解析

三、解答题

16. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，P是ED的中点，连结AP．求AP的长．

查看试题解析
17. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， $\hat{B C}$ = $\hat{C D}$ ，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE= $\sqrt{3}$ ，求∠ABC的度数．

查看试题解析
18. 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧 $\overset{⌢}{C D}$ 上（不与C点重合）．

(1)、求∠BPC的度数；

(2)、若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．

查看试题解析
19. 如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P．若∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数．

查看试题解析

四、综合题

20. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 上的一点，过点 $D$ 做 $B C$ 的平行线 $D E$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是线段 $D E$ 上的动点（点 $P$ 不与 $D 、 E$ 重合）．将 $△ A B P$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $60 °$ ，得到 $△ A C Q$ ，连接 $E Q 、 P Q ， P Q$ 交 $A C$ 于 $F$ ．

(1)、证明：在点 $P$ 的运动过程中，总有 $∠ P E Q = 120 °$ ．

(2)、当 $\frac{A P}{D P}$ 为何值时， $△ A Q F$ 是直角三角形？

查看试题解析
21. 如图所示，四边形 $A B C D$ 是半径为R的 $⊙ O$ 的内接四边形， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ A B D = 45 °$ ，直线l与三条线段 $C D$ 、 $C A$ 、 $D A$ 的延长线分别交于点E、F、G．且满足 $∠ C F E = 45 °$ ．

(1)、求证：直线 $l ⊥$ 直线 $C E$ ；

(2)、若 $A B = D G$ ；
①求证： $△ A B C ≌ △ G D E$ ；
②若 $R = 1 ， C E = \frac{3}{2}$ ，求四边形 $A B C D$ 的周长．

查看试题解析
22. 已知，如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，直线 $M A$ 与 $⊙ O$ 相切，切点为 $A$ ，连接 $A C$ ．

(1)、求证： $∠ M A D = ∠ A C D$ ；

(2)、若 $A C = A D$ ，点 $B$ 是劣弧 $A C$ 的中点， $\tan ∠ D A M = \frac{4}{3}$ ，求 $\tan ∠ A C B$ ．

查看试题解析
23. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，点P在 $⊙ O$ 上， $P C ⊥ A B$ 于点C，点D在弦 $A B$ 上且 $A C = C D$ ，在 $\overset{⌢}{P B}$ 上取一点Q， $\overset{⌢}{P Q} = \overset{⌢}{P A}$ ，连接 $B Q$ ，则 $B Q = B D$ .

(1)、如图2，小亮尝试说明 $B Q = B D$ ，于是他连接了 $P A$ ， $P D$ ， $P Q$ ， $D Q$ .请你帮助他完成下列证明.
①求证： $∠ P Q B = ∠ P D B$ ；
②求证： $B Q = B D$ .

(2)、如图3，将材料中的“弦 $A B$ ”改为“直径 $A B$ ”，作直线l与 $⊙ O$ 相切于点Q.过点P作 $P G ⊥$ 直线l于点G，其余条件不变，连接 $P A$ ， $P Q$ .若 $P G = 2$ ， $B Q = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径 $O A$ 的长

查看试题解析

（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆 同步分层训练（培优卷）

一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆同步分层训练（培优卷）