（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 24.1 圆的有关性质同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ +2 B、 $\sqrt{13}$ +1 C、3 $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$ +1

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2. 如图，已知点 $A ， B ， C ， D$ 均在 $⊙ O$ 上， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A D$ 的延长线与弦 $B C$ 的延长线交于点 $E$ ，连接 $O C ， O D ， A C ， C D ， B D$ ．则下列命题为假命题的是（）

A、若点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，则 $A D = B D$ B、若 $O D ⊥ A C$ ，则 $∠ A O D = ∠ A B C$ C、若 $A B = A E$ ，则 $C B = C E$ D、若半径 $O D$ 平分弦 $A C$ ，则四边形 $A O C D$ 是平行四边形

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3. 如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝ $\frac{1}{2}$ AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）²+b²＝2[（a+b）²+a²]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（）

A、5 $\sqrt{13}$ B、18 C、3 $\sqrt{34}$ D、17

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4. 如图，在矩形ABCD中，AB＞AD，∠DAB的平分线与CD交于点E，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF，DF．有下列结论：①DE＝BC；②DF＝BF；③∠CDF＝∠CBF；④B，C，D，F四点在同一个圆上．其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，在给定的锐角三角形ABC中，∠BAC=60°，D是边BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，当点D从点B运动到点C的过程中，线段EF的长度的大小变化情况是（　　）

A、一直不变 B、一直减少 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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6. 如图，AB是⊙O的直径，点C，点D是半圆上两点，连结AC，BD相交于点P，连结AD，OD．已知OD⊥AC于点E，AB＝2．下列结论：
①AD²+AC²＝4；②∠DBC+∠ADO＝90°；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE．
其中正确的是（）

A、①②③ B、②③④ C、③④ D、②④

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7. 如图，AB是半圆O的直径，点C、E是半圆上的动点（不与点A、B重合），且 $\overset{⌢}{A C}$ ＝ $\overset{⌢}{B E}$ ，射线AE，BC交于点F，M为AF中点，G为CM上一点，作∠GON＝ $\overset{⌢}{B C}$ ，交BC于点N，则点C在从点A往点B运动的过程中，四边形CGON的面积（）

A、先变大后变小 B、先变小后变大 C、保持不变 D、一直减小

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8. 如图，E为正方形ABCD的边CD上一动点，AB=2，连接BE，过A作AF⊥BE，交BC于F，交BE于G，连接CG，当CG为最小值时，CF的长为（）

A、 $3 - \sqrt{5}$ B、 $3 + \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$

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9. 如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD $//$ OC，若CO＝ $\frac{5}{2}$ ，AC＝2，则AD＝（　　）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{17}{5}$

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10. 如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC=12.若AB=m（m为整数），则整数m的值的个数为（）

A、0个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，AB，CD是⊙O的两条直径，∠AOC=50°．过点A作AE∥CD，交⊙O于点E，则 $\overset{⌢}{A E}$ 的度数为

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12. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 ， ∠ A C B = 7 5^{°} ， ∠ A B C = 4 5^{°} ， D$ 是线段BC上的一个动点，以AD为直径画 $⊙ O$ 分别交AB，AC于E，F，连结EF，则EF的最小值为.

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13. 如图，等腰 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，点D是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，连接 $B D$ ，点E是 $B D$ 上一点，满足 $∠ A B E = ∠ E C B$ . 若 $C D = 2$ ，则 $△ A E C$ 的面积是.

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E ， F$ 分别在 $B C ， B D$ 上，且 $B E = 1$ ，过三点 $C ， E ， F$ 作 $⊙ O$ 交 $C D$ 于点G.在点F整个运动过程中，当 $E F ， F G ， C G$ 中满足某两条线段相等时， $B F$ 的长为.

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15. 如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10， $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{D B}$ ，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：
①∠BOE=60°；②∠CED= $\frac{1}{2}$ ∠AOD；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，其中正确的序号是．

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三、解答题

16. 如图，在半径为5的扇形OAB中，∠AOB=90°，C是 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D，E．

(1)、当BC=6时，求线段OD的长．

(2)、求DE的长．

(3)、在△ODE中，是否存在度数不变的角？若存在，请直接指出是哪个角，并求出它的度数．

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17. 如图，A 是⊙O上的一个六等分点，B是 $\overset{⌢}{A N}$ 的中点，P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1．

(1)、找出当AP+BP取最小值时，点P的位置．

(2)、求AP+BP的最小值．

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18. 研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图甲所示，已知四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C = B D$ ，且AC⊥BD.

(1)、求证：AB=CD.

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为8， $\overset{⌢}{B D}$ 的度数为120°，求四边形ABCD的面积.

(3)、如图乙所示，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系并证明.

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19. 如图所示，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B = 4$ ，弦 $C D = 2$ ，直线AD，BC相交于点 $E$ .

(1)、如图甲所示， $∠ E$ 的度数为.

(2)、如图乙所示，AB与CD交于点 $F$ ，请补全图形并求 $∠ E$ 的度数.

(3)、如图丙所示，直径AB与弦CD不相交，求 $∠ A E C$ 的度数.

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四、综合题

20. 已知， $A B$ 是 $⊙ O$ 直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $H$ ，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一点．

(1)、如图1，连接 $P B$ 、 $P C$ 、 $P D$ ，求证： $B P$ 平分 $∠ C P D$ ；

(2)、如图2，连接 $P A$ 、 $P C$ 、 $P D$ ， $P C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 于点 $F$ ，若 $A E = A P$ ；求证： $C E = D P$ ；

(3)、如图 $3$ ，在（2）的条件下，连接 $B P$ 交 $A D$ 于 $G$ ，连接 $O G$ ，若 $∠ O G A = 45 °$ ， $S_{△ A O G} = 30$ ，求 $⊙ O$ 半径．

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21. 已知钝角三角形 $A B C$ 内接于 $⊙ O ， E 、 D$ 分别为 $A C 、 B C$ 的中点，连接 $D E$ .

(1)、如图1，当点 $A 、 D 、 O$ 在同一条直线上时，求证： $D E = \frac{1}{2} A C$ .

(2)、如图2，当 $A 、 D 、 O$ 不在同一条直线上时，取 $A O$ 的中点 $F$ ，连接 $F D$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，当 $A B + A C = 2 A G$ 时.
①求证： $△ D E G$ 是等腰三角形；
②如图3，连 $O D$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $H$ ，连接 $A H$ .求证： $A H ∥ F G$ .

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22. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $D B$ ， $D C$ .

(1)、如图①，当 $∠ B A C = 120 °$ 时，请直接写出线段 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 之间满足的等量关系式：；

(2)、如图②，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，试探究线段 $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 之间满足的等量关系，并证明你的结论.

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23. 数学活动课上，老师给出这样一个题目：如图1，点C是弧 $A B$ 上的点， $C D ⊥ O A$ 于D， $C E ⊥ O B$ 于E，若 $C D = C E$ ，求证：点C是弧 $A B$ 的中点.
小波同学想到的办法是：可通过证明 $△ C D O ≌ △ C E O$ 来完成它.

(1)、请你们帮助小波完成证明过程：

(2)、解答完老师给出的问题后，小波把老师的题进行了改变.
如图2，已知 $C H$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D，点E分别是半径 $O A$ ， $O B$ 的中点，延长 $C E$ 交 $B H$ 于点F，若 $C D ⊥ O A$ 于D，且点C是弧 $A B$ 的中点，求证： $F C = F H$ ，请你证明.

(3)、拓展：如图3，在（2）的条件下，点G是弧 $B H$ 上一点，连接 $A G ， B G ， H G$ ， $O F$ ，若 $H G = 4$ ， $A G ： B G = 5 ： 3$ ，求 $⊙ O$ 的半径长.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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