（人教版）2023-2024学年九年级数学上册 23.1图形的旋转同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，将边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到正方形 $A' B C' D'$ ， $A D$ 与 $C' D'$ 交于点 $M$ ，那么图中点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 1)$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$

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2. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，P为BC边上一动点，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG ，连接BG、CG ，则BG+CG的最小值是（）

A、4 B、4 $\sqrt{15}$ C、4 $\sqrt{21}$ D、4 $\sqrt{37}$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 3 ， C E = 2 B E ， E F = 2$ ，连接 $A F$ ，将线段 $A F$ 绕着点A顺时针旋转 $90 °$ 得到 $A P$ ，则线段 $P E$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{34} - 1$ C、4 D、 $\sqrt{34} - 2$

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5. 如图，正方形ABCD的边长为4， $∠ B C M = 30 °$ ，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（）

A、 $4 \sqrt{2} - 4$ B、 $2 \sqrt{2} - 2$ C、 $2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6} - \sqrt{3}$

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6. 如图，二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2} - 3$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于x轴对称，点P从点A出发向点D运动，点Q在DB上，且∠PCQ＝45°，则图中阴影部分的面积变化情况是（）

A、一直增大 B、始终不变 C、先减小后增大 D、先增大后减小

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7. 如图，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，点P在△ABC内，将 $△$ APC绕着点A逆时针方向旋转60°得到 $△$ AEF．则AE+PB+PC的最小值为（）

A、2 $\sqrt{19}$ B、8 C、5 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{2}$

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8. 在平面直角坐标系中，点A（-3，3），B（-4，1），C（-2，1），点M（2，m）绕坐标原点O逆时针旋转90°后，恰好落在△ABC内部（不包括边界），则m的取值范围为（）

A、 $\frac{5}{2}$ <m< $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ <m< $\frac{11}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ <m< $\sqrt{13}$ D、 $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$ <m< $\frac{15}{4}$

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9. 已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF的边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转，……，在这样连续6次旋转的过程中，点B，M之间的距离可能是（）

A、1.4 B、1.1 C、0.8 D、0.5

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10. 如图4，矩形ABCD绕点A逆时针旋转90*得矩形AEFG，连接CF，交AD于点P，M是CF的中点，连接AM，交EF于点Q。则下列结论：

①AM⊥CF；②△CDP≌△AEQ ；③连接PQ，则PQ= $\sqrt{2}$ MQ；④若AB=2，BC=6，则MQ= $\sqrt{5}$ 其中，正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C < 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 7$ ， O为 $A C$ 的中点，M为 $B C$ 边上一动点，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转角 $α (0 ° < α \leq 360 °)$ 得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，点M的对应点为 $M^{'}$ ，连接 $O M^{'}$ ，在旋转过程中，线段 $O M^{'}$ 的长度的最小值是．

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12. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = \sqrt{15}$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 的中线，将 $△ A B C$ 绕点A旋转，点B、C的对应点分别是点E、F，如果点F在射线 $C D$ 上，那么 $\frac{S_{Δ A D F}}{S_{Δ A E F}}$ ＝．

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13. 如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是AB边上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°到EF，连接DF，CF，则DF+CF的最小值是．

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $M$ 是 $A B$ 上一动点，点 $E$ 是 $C M$ 的中点， $A E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $D E$ ， $D F .$ 给出结论： $① D E = E F$ ； $② ∠ C D F = 45 °$ ；③若正方形的边长为2，则点 $M$ 在射线 $A B$ 上运动时， $C F$ 有最小值 $\sqrt{2} .$ 其中结论正确的是．

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15. 如图，“心”形是由抛物线 $y = - x^{2} + 6$ 和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C的对应点为D ，点A ， B是两条抛物线的两个交点，点E ， F ， G是抛物线与坐标轴的交点，则AB= ．

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三、解答题

16. 如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，求FM的长．

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17. 如图，在△ABC中，点E在线段AB上，点D在射线CB上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF（点B、E的对应点分别为点A、F），连接EF．

(1)、求证：AE=DB；

(2)、在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对线段长度之和等于AB的长．

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18.
发现：一次小组合作探究课上，嘉嘉将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点E ， A ， D在同一条直线上），发现 $B E = D G$ 且 $B E ⊥ D G$ ．
探究：将正方形 $A E F G$ 绕点A按逆时针方向旋转（如图2），还能得到 $B E = D G$ 吗?若能，请给出证明；若不能，请说明理由．

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19. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

(1)、操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①△ADC是三角形；
②设△BDC的面积为 $S_{1}$ ，△AEC的面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系是．

(2)、猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

(3)、拓展探究：如图4，已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，且BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E．若在射线BA上存在点F，使S_△_DCF=S_△_BDE ，请直接写出相应的BF的长．

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四、综合题

20. 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E.

(1)、当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；

(2)、若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形.

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21. 如图①所示，将一个边长为2的正方形 $A B C D$ 和一个长为2、宽为1的长方形 $C E F D$ 拼在一起，构成一个大的长方形 $A B E F$ ．现将小长方形 $C E F D$ 绕点C顺时针旋转至长方形 $C E^{'} F^{'} D^{'}$ ，旋转角为 $α$ ．

(1)、当点 $D^{'}$ 恰好落在 $E F$ 边上时，求旋转角 $α$ 的值；

(2)、如图②，G为 $B C$ 中点，且 $0 ° < α < 90 °$ ，求证： $G D^{^{'}} = E^{^{'}} D$ ；

(3)、小长方形 $C E F D$ 绕点C顺时针旋转一周的过程中， $△ D C D^{'}$ 与 $△ C B D^{'}$ 能否全等？若能，直接写出旋转角 $α$ 的值；若不能，说明理由．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，连接 $A C$ ，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转α得到 $△ A E F$ ，连接 $C F$ ， O为 $C F$ 的中点，连接 $O E ， O D$ .

(1)、如图1，当 $α = 45 °$ 时，求证： $O E = O D$ .

(2)、如图2，当 $45 ° < α < 90 °$ 时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.

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23. 将矩形纸片 $A B C O$ 放在平面直角坐标系中，点 $O (0 ， 0)$ ，点 $A (- 8 ， 0)$ ，点 $C (0 ， 6)$ ．现绕点O顺时针旋转矩形纸片 $A B C O$ ，得到新的矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ ，其中A，B，C的对应点分别为 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ ．当直线 $B C$ 与直线 $B^{^{'}} C^{^{'}}$ 有交点时，设交点为D．

(1)、在旋转过程中，判断线段 $C D$ 和 $C^{'} D$ 的数量关系，并以图①为例说明理由；

(2)、在旋转过程中，当点 $A^{'}$ 落在线段 $B C$ 上时（如图②），直接写出点 $A^{'}$ 的坐标；

(3)、在旋转过程中，若线段 $A^{'} O$ 恰好过线段 $B C$ 中点E时（如图③），求线段 $C D$ 的长；

(4)、在旋转过程中，当线段 $A^{'} O$ 与线段 $B C$ 的交点M恰好是线段 $B D$ 中点时（如图④），请直接写出点M和点D的坐标．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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