吉林省长春市德惠三中2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2023-11-07 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列方程中是一元二次方程的是（）

A、2x+1=0 B、y²+x=1 C、x²+1=0 D、 $\frac{1}{x} + x^{2} = 1$

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2. 下列运算中错误的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{6} \div \sqrt{3} = \sqrt{2}$ D、 $(- \sqrt{2})^{2} = 2$

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3. 以下二次根式：① $\sqrt{12}$ ；② $\sqrt{2^{2}}$ ；③ $\sqrt{\frac{2}{3}}$ ；④ $\sqrt{27}$ 中，与 $\sqrt{3}$ 是同类二次根式的是（）

A、①和② B、②和③ C、①和④ D、③和④

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4. 若a是方程2x²﹣x﹣3=0的一个解，则6a²﹣3a的值为（）

A、3 B、﹣3 C、9 D、﹣9

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5. 若1＜x＜2，则 $| x - 3 | + \sqrt{{(x - 1)}^{2}}$ 的值为（）

A、2x﹣4 B、﹣2 C、4﹣2x D、2

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6. 若关于x的方程x²-3x+q＝0的一个根x₁的值是2．则另一根x₂及q的值分别是（　　）

A、x₂＝1，q＝2 B、x₂＝-1，q＝2 C、x₂＝1，q＝-2 D、x₂＝-1，q＝-2

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7. 若α，β是方程x²-2x-3＝0的两个实数根，则α²+β²的值为（　　）

A、10 B、9 C、7 D、5

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8. 若关于x的一元二次方程x²﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）

9. 使 $\frac{1}{\sqrt{x - 3}}$ 有意义的x的取值范围是.

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10. 若|b-1|+ $\sqrt{a - 4}$ ＝0，且一元二次方程kx²+ax+b＝0有两个实数根，则k的取值范围是．

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11. 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a²﹣b² ，根据这个规则，方程（x+2）*5=0的解为．

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12. 代数式x²-5x+10的最小值是．

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13. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为．

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14. 若等腰三角形底边长为8，腰长是方程x²-9x+20＝0的一个根，则这个三角形的周长．

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三、解答题（共78分）

15. 计算：

(1)、 $2 \sqrt{3} + \sqrt{27} - \sqrt{\frac{1}{3}}$

(2)、 $\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{48} \div \sqrt{\frac{1}{8}}$

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16. 解方程

(1)、用直接开平方法解 3（x-1）²-6＝0；

(2)、用配方法解x²-6x+3＝0；

(3)、用公式法解 9x²+10x＝4；

(4)、用因式分解法解 2x²-5x＝0．

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17. 先化简，再求值： $\frac{x^{2} + y^{2} - 2 x y}{x - y} \div (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})$ ，其中x＝ $\sqrt{2}$ +1，y＝ $\sqrt{2}$ -1．

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18. 已知关于x的方程（k-1）x²-k²x-1＝0的一个根是-1，求k的值；如果方程还有其他的根，请予求出．

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19. 已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k＝0．

(1)、求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)、若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

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20. 两个连续奇数的积为255，求这两个奇数．

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21. 如图，利用一面墙（墙的长度不超过45米），用80米长的篱笆围成一个矩形场地．
①怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？
②能否围成面积为810平方米的矩形场地，为什么？

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22. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，2012年投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

(1)、求每年市政府投资的增长率；

(2)、若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

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23. 某网店销售台灯，成本为每盏30元．销售大数据分析表明：当每盏台灯售价为40元时，平均每月售出600盏，若售价每下降1元，其月销售量就增加200盏．为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210盏台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每盏台灯的售价．

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24. 已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm ， BC=7cm ．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动．

(1)、如果P ， Q分别从A ， B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？

(2)、如果P ， Q分别从A ， B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

(3)、在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm²？说明理由．

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