（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 15.2 分式的运算同步分层训练（提升卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 ${(\frac{1}{a - b})}^{2} = \frac{1}{a^{2} - b^{2}}$ B、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ C、 ${(- \frac{1}{2 a^{3}})}^{2} = \frac{1}{4 a^{6}}$ D、 ${(\frac{x^{2}}{4})}^{2} = \frac{x^{4}}{8}$

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2. 两个分式 $A = \frac{2}{a^{2} - 1} ， B = \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{1 - a}$ ，其中 $a \neq \pm 1$ ，则 $A$ 与 $B$ 的关系是（）

A、相等 B、互为倒数 C、互为相反数 D、 $A$ 大于 $B$

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3. 若 $a b \neq 0$ ，则 $\frac{a}{| a |} + \frac{b}{| b |} + \frac{a b}{| a b |}$ 的取值共有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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4. 若 $\frac{□}{x + y} \div \frac{x}{y^{2} - x^{2}}$ 运算的结果为整式，则“ $□$ ”中的式子可能是（）

A、 $y - x$ B、 $y + x$ C、 $2 x$ D、 $\frac{1}{x}$

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5. 下列计算结果正确的是（）

A、 ${(- 1)}^{- 1} = 1$ B、 ${(- 1)}^{0} = 0$ C、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} = - 4$ D、 $- {(- 1)}^{2} = - 1$

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6. 若 $3^{a} = 5$ ， $5^{b} = 3$ ，则 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $2$

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7. 计算 $\frac{a}{b + 1} + \frac{2 a}{b + 1} - \frac{3 a}{b + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{a}{b + 1}$ B、 $\frac{1}{b + 1}$ C、 $1$ D、 $0$

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8. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足 $a + c = b$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{c}$ ，则下列结论错误的是（）

A、若 $b > c > 0$ ，则 $a > 0$ B、若 $c = 1$ ，则 $a (a - 1) = 1$ C、若 $b c = 1$ ，则 $a = 1$ D、若 $a^{2} - c^{2} = 2$ ，则 $a c = 2$

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9. 化简 $\frac{2 x + 1}{x + 1} + \frac{1}{x + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{4 x}{x + 1}$ B、 $2 x + 2$ C、 $4 x$ D、 $2$

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10. 下列各式计算正确的是（）

A、 $(a^{2})^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{0} = 0$ D、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$

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二、填空题

11. 已知 $\frac{1}{x}$ - $\frac{1}{y}$ ＝6，则分式 $\frac{x y}{x - y}$ ．

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12. 已知 $\frac{a}{a + b} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{b}{a}$ 的值为．

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13. 若 $a - b = 2 a b \neq 0$ ，则分式 $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} =$ ．

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14. 若 $x = 2023 m + 2023$ ， $y = 2023 m + 2022$ ， $z = 2023 m + 2021$ ，则 $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z}{2}$ 的值为．

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15. 若 $(x + \sqrt{3})^{- 1}$ 有意义，则 $x$ 的值不能为．

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $(a - 1 - \frac{3}{a + 1}) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a + 1}$ ，请在 $- 1 、 1 、 2$ 三个数中选择一个合适的整数代入求值．

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17. 已知分式 $A$ ： $(\frac{4}{x - 2} - x + 2) \div \frac{x}{2 - x}$ ，解答下列问题：

(1)、化简分式 $A$ ；

(2)、分式 $A$ 的值能等于 $- 2$ 吗？请说明理由．

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18. 根据规划设计，某工程队准备修建一条长 $1000 m$ 的公路 $.$ 由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加 $20 m$ ，从而缩短了工期 $.$ 假设原计划每天修建公路a $m$ ，那么

(1)、原计划修建这条公路需要多少天？实际修建这条公路用了多少天？

(2)、实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？

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19.
下面是小白同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解： $(\frac{3 x + 4}{x^{2} - 1} - \frac{2}{x - 1}) \div \frac{x + 2}{x^{2} - 2 x + 1}$
$= [\frac{3 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2}{x - 1}] \div \frac{x + 2}{(x - 1)^{2}} \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ 第一步
$= [\frac{3 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}] \div \frac{x + 2}{(x - 1)^{2}} \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ 第二步
$= \frac{3 x + 4 - 2 x + 2}{(x + 1) (x - 1)} \times \frac{(x - 1)^{2}}{x + 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ 第三步
$= \frac{x + 6}{x + 1} \times \frac{x - 1}{x + 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ 第四步
$= \frac{x^{2} + 5 x - 6}{x^{2} + 3 x + 2} \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$ 第五步
任务：

(1)、填空：
$①$ 上面的化简步骤中，第步是进行分式的通分，通分的依据是．
$②$ 第步开始出现错误，这一步错误的原因是．

(2)、请写出正确的化简过程．

(3)、当 $x = 2$ 时，求该分式的值．

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四、综合题

20.

(1)、解不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 2 x \\ x - 1 < \frac{1 + 2 x}{3} \end{array}$ ，并求出它的所有整数解的和．

(2)、先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 6 x + 9} - \frac{2 x + 1}{2 x + 6}$ ，其中 $x = 0$

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21. 阅读理解：已知 $x \neq y$ ， $p = x^{2} - y^{2}$ ， $q = 2 x y - 2 y^{2} .$ 试比较 $p$ 与 $q$ 的大小．
想法：求 $p - q .$ 当 $p - q > 0$ ，则 $p > q$ ；当 $p - q < 0$ ，则 $p < q$ ；当 $p - q = 0$ ，则 $p = q$ ．
解： $∵ p - q = (x^{2} - y^{2}) - (2 x y - 2 y^{2}) = x^{2} - 2 x y + y^{2} = (x - y)^{2} > 0$ ， $∴ p > q$ ．
用你学到的方法解决下列问题：

(1)、已知 $- 1 < x < 1$ 且 $x \neq 0$ ， $m = \frac{x}{1 + x}$ ， $n = \frac{x}{1 - x} .$ 试比较 $m$ 与 $n$ 的大小．

(2)、甲、乙两地相距 $s (k m)$ ，小明和小宇同路往返于甲乙两地．小明去时和返回时的速度分别是 $a (k m / h)$ 、 $b (k m / h)$ ， $a \neq b$ ；小宇去时和返回时的速度都是 $\frac{a + b}{2} (k m / h) .$ 请问二者一个来回中，谁用时更短？

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22. 以下是某同学化简分式

\frac{a - b}{a} \div (a - \frac{2 a b - b^{2}}{a})

的部分运算过程：

解：原式 $= \frac{a - b}{a} \div a - \frac{a - b}{a} + \frac{2 a b - b^{2}}{a}$ …………第一步

$= \frac{a - b}{a} \cdot \frac{1}{a} - \frac{a - b}{a} \cdot \frac{a}{2 a b - b^{2}}$ …………第二步

$= \frac{a - b}{a^{2}} = \frac{a - b}{2 a b - b^{2}}$ …………第三步

……

(1)、上面的运算过程中第步开始出现了错误；

(2)、请你写出完整的解答过程．

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23. 阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；再如： $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式，假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 + \frac{3}{4}$ （即 $1 \frac{3}{4}$ ）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： $\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ．
解决下列问题：

(1)、分式 $\frac{5}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；假分式 $\frac{x + 5}{x + 2}$ 可化为带分式形式；

(2)、如果分式 $\frac{x - 4}{x - 1}$ 的值为整数，求满足条件的整数x的值；

(3)、若分式 $\frac{3 x^{2} + 8}{x^{2} + 2}$ 的值为m，则m的取值范围是（直接写出结果）

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