（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 15.2 分式的运算同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如果 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正数，且满足 $a + b + c = 1$ ， $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + c} = 5$ ，那么 $\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{a + c}$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知 $m = \frac{1 5^{4}}{3^{44}}$ ， $n = \frac{5^{4}}{3^{40}}$ ，那么 $201 6^{m - n} =$ （）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2016$ D、 $201 6^{2}$

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3. 老师设计了接力游戏，甲、乙、丙、丁四位同学用合作的方式完成分式化简．规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，整个化简过程如图所示，接力中，自己负责的一步出现错误的同学是（）

A、甲和乙 B、乙和丙 C、丙和丁 D、甲和丁

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4. 化简 $(\frac{m}{n} - \frac{n}{m}) \div (\frac{1}{m} - \frac{1}{n})$ 的结果是（）

A、 $m - n$ B、 $n - m$ C、 $1$ D、 $- m - n$

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5. 在计算 $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \div \frac{x}{x + 1}$ 时，甲、乙两位同学使用方法不同，但计算结果相同，则（）
甲同学： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \div \frac{x}{x + 1} = (\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}) \times \frac{x + 1}{x} = \frac{2 x}{x + 1} \times \frac{x + 1}{x} = 2$ ．
乙同学： $(\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \div \frac{x}{x + 1} = (\frac{x - 1}{x + 1} + 1) \times \frac{x + 1}{x} = \frac{x - 1}{x + 1} \times \frac{x + 1}{x} + 1 \times \frac{x + 1}{x} = \frac{x - 1}{x} + \frac{x + 1}{x} = \frac{2 x}{x} = 2$ ．

A、甲同学正确 B、乙同学正确 C、两人都正确 D、两人都不正确

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6. 下面是某同学化简分式 $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{2 x - x^{2}}$ 的部分计算过程，则在化简过程中的横线上依次填入的序号为（）
$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x^{2} + 4 x + 4}{2 x - x^{2}}$
$= \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} \cdot \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + 4 x + 4}$
$= \frac{(x + 2) (x - 2)}{- - -} \cdot \frac{- x (- - -)}{(x + 2)^{2}}$
$= - \frac{x}{- - -}$ ．
$① (x + 2)$
$② (x - 2)$
$③ (x + 2)^{2}$
$④ (x - 2)^{2}$

A、 $③ ② ①$ B、 $③ ① ②$ C、 $④ ② ①$ D、 $④ ① ②$

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7. 若 $\frac{x}{y} = 3$ ，则 $\frac{x}{x - y}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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8. 解方程 $\frac{1}{x - 1} - 2 = \frac{3 x}{1 - x}$ 去分母，两边同乘 $(x - 1)$ 后的式子为（）

A、 $1 - 2 = - 3 x$ B、 $1 - 2 (x - 1) = - 3 x$ C、 $1 - 2 (1 - x) = - 3 x$ D、 $1 - 2 (x - 1) = 3 x$

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9. 在复习分式的化简运算时，老师把甲、乙两位同学的解答过程分别展示如下

.

则（）

甲： $(\frac{a - 1}{a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1} = \frac{a - 1 + 1}{a + 1} \div \frac{a}{a + 1} \dots \dots ①$

$= \frac{a}{a + 1} \div \frac{a}{a + 1} \dots \dots ②$

$= \frac{a}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a} \dots \dots ③$

$= 1 \dots \dots ④$

乙：

$(\frac{a - 1}{a + 1} + 1) \div \frac{a}{a + 1} = \frac{a - 1}{a + 1} \times \frac{a + 1}{a} + \frac{a + 1}{a} \dots \dots ①$

$= \frac{a - 1}{a} + \frac{a + 1}{a} \dots \dots ②$

$= \frac{2 a}{2 a} \dots \dots ③$

$= 1 \dots \dots ④$

A、甲、乙都错 B、甲、乙都对 C、甲对，乙错 D、甲错，乙对

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10. 若 $\frac{2}{3 x^{2} + 4 x + 7}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ ，则 $\frac{1}{6 x^{2} + 8 x - 1}$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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二、填空题

11. 已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且 $\frac{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}{x y} + \frac{(y^{2} - 1) (z^{2} - 1)}{y z} + \frac{(z^{2} - 1) (x^{2} - 1)}{z x}$ =4.求 $\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}$ 的值为.

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12. 若 ${(x + 3)}^{x - 3} = 1$ ，则 $x =$ 。

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13. 若 ${(x - 1)}^{x + 1} = 1$ ，则x= ．

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14. 若（t-3）^t-2=1，则t=.

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15. 已知a是 $\sqrt{10}$ 的整数部分，b是 $\sqrt{10}$ 的小数部分，那么ab的值是．

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三、解答题

16. 某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．

(1)、求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？

(2)、若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 $\frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1} + \frac{1}{c + 1}$ 的值．

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17. 已知（|x|﹣4）^x+1=1，求整数x的值.
小红与小明交流如下：

小红：因为a⁰=1（a≠0），

所以x+1=0且|x|﹣4=0，所以x=﹣1．

小明：因为1ⁿ=1，所以|x|﹣4=1，所以x=±5

你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值．

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18. 老师布置了今天的作业：用两种方法计算 $(\frac{3 x}{x - 2} - \frac{x}{x + 2}) \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ ．
下面是嘉淇同学作业中的部分运算过程：
解：原式 $= [\frac{3 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)}] \cdot \frac{x^{2} - 4}{x}$ 第一步
      $= [\frac{3 x^{2} + 2}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)}] \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x}$ 第二步
      $= \frac{3 x^{2} + 2 - (x^{2} - 2 x)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x}$ 第三步
      $= \frac{3 x^{2} + 2 - x^{2} - 2 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{(x + 2) (x - 2)}{x}$ 第四步
      $=$ ……

(1)、以上化简步骤中，第步开始出现错误；

(2)、用第二种方法化简分式．

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19. 阅读材料：
（ 1 ）1的任何次幂都为1；

（ 2 ）-1的奇数次幂为-1；

（ 3 ）-1的偶数次幂为1；

（ 4 ）任何不等于零的数的零次幂为1.

请问当 $x$ 为何值时，代数式 ${(2 x + 3)}^{x + 2020}$ 的值为1.

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四、综合题

20. 阅读下列解题过程：
已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值.

解：由 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{3}$ ，知 $x \neq 0$ ，所以 $\frac{x^{2} + 1}{x} = 3$ ，即 $x + \frac{1}{x} = 3$ .

∴ $\frac{x^{4} + 1}{x^{2}} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 7$

∴ $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值为7的倒数，即 $\frac{1}{7}$ .

以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：

(1)、已知 $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} + 1}$ 的值.

(2)、已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{1}{7}$ ，求 $\frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1}$ 的值.

(3)、已知 $\frac{x y}{x + y} = 2$ ， $\frac{y z}{y + z} = \frac{4}{3}$ ， $\frac{z x}{z + x} = \frac{4}{3}$ ，求 $\frac{x y z}{x y + y z + z x}$ 的值.

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21. 如图，长方形 $A B C D$ 的长 $A B$ 为a，宽 $B C$ 为b，点A的坐标为 $(1 ， 1)$ ．

(1)、若长方形 $A B C D$ 的周长为 $14$ ，面积为 $10$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(2)、若点C关于x轴的对称点的坐标为 $(3 b ， b - a)$ ，求 ${(- a^{- 1} b^{2})}^{3} \div \frac{b^{2}}{a} \cdot \frac{a}{b^{2}}$ 的值．

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22. 已知 $x = a (\frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ ， $y = b (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ ， $z = c (\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$ ．

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 1$ ， $c = 2$ 时，求 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{y - 1}$ 的值；

(2)、当 $a b + b c + a c \neq 0$ 时,求 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} + \frac{1}{z + 1}$ 的值．

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23. 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题.
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的.

例：已知： $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4}$ ，求代数式x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ 的值.

解：∵ $\frac{x}{x^{2} + 1} = \frac{1}{4}$ ，∴ $\frac{x^{2} + 1}{x}$ ＝4

即 $\frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x}$ ＝4∴x+ $\frac{1}{x}$ ＝4∴x²+ $\frac{1}{x^{2}}$ ＝（x+ $\frac{1}{x}$ ）²﹣2＝16﹣2＝14

材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题.

例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求 $\frac{x}{y + z}$ 的值.

解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）

则 $x = \frac{k}{2} ， y = \frac{k}{3} ， z = \frac{k}{4} ， ∴ \frac{x}{y + z} = \frac{\frac{1}{2} k}{\frac{1}{3} k + \frac{1}{4} k} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7}$

根据材料回答问题：

(1)、已知 $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = \frac{1}{4}$ ，求x+ $\frac{1}{x}$ 的值.

(2)、已知 $\frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3}$ ，（abc≠0），求 $\frac{3 b + 4 c}{2 a}$ 的值.

(3)、若 $\frac{y z}{b z + c y} = \frac{z x}{c x + a z} = \frac{x y}{a y + b x} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ ，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值.

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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