浙江省金华市兰溪二中2023-2024学年九年级第一学期数学10月考试试卷

试卷更新日期：2023-11-07 类型：月考试卷

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一、选择题（本题共有10个小题，每小题3分，共30分）

1. 若 $\frac{a}{b} = \frac{4}{7}$ ，则 $\frac{a}{b + a}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{11}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $\frac{3}{7}$

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2. 抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（）

A、点数是奇数 B、点数是3的倍数 C、点数大于5 D、点数小于5

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3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（　　）

A、40° B、50° C、80° D、100°

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4. 将抛物线y=x²向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得的新抛物线的表达式为（）

A、y=（x+1）²+2 B、y=（x+2）²+1 C、y=（x+2）²-1 D、y=（x-1）²+2

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5. 如图，将Rt△ABC绕C点按顺时针方向旋转到△DEC，点E恰好落在AB上，若∠A=35°，则旋转的角度为（）

A、70° B、55° C、35° D、20°

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6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E. 若BE=10，CD=8，则⊙O的半径为（）

A、3 B、4.2 C、5.8 D、6

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7. 如图，若点 $A （－ 1 ， y_{1} ）， B （ 2 ， y_{2} ）， C （ 4 ， y_{3} ）$ 在二次函数 $y ＝－ x^{2} ＋ b x ＋ c$ 的图象上，则y₁ ， y₂与y₃的大小关系是（）

A、y₁＞y₂＞y₃ ． B、y₂＞y₁＞y₃ ． C、y₃＞y₁＞y₂ ． D、y₃＞y₂＞y₁.

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8. 如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD.若点B（1，0），则点C的坐标为（）

A、（1，2） B、（1，1） C、（ $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ） D、（2，1）

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9. 如图，AB为半圆的直径，其中AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到点A’的位置，则图中阴影部分的面积为（）

A、π B、2π C、 $\frac{π}{2}$ D、4π

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10. 如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（）

A、△COF∽△CEG B、OC=3OF C、AB：AD=4：3 D、GE= $\sqrt{6}$ DF

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二、填空题（本题共有6个小题，每小题4分，共24分）

11. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且AB=2cm，PA>PB，则PAcm（结果保留根号）

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12. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5cm和12cm，则这个直角三角形的外接圆的半径为 cm

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13. 已知扇形的圆心角为80°，半径为3，则该扇形的面积为，周长为．（结果保留π）

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14. 二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，由图象可知，不等式 $- x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为.

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15. 当x≥m时，两个函数 $y_{1} = - （ x ﹣ 4 ）^{2} ＋ 2$ 和 $y_{2} = - （ x ﹣ 3 ）^{2} ＋ 1$ 的函数值都随着x的增大而减小，则m的最小值为.

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16. 如图是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，AB⊥BC，CD⊥BC，出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧 $\overset{⌢}{D E}$ ，与上部面板线段AE相接于点E，OD⊥CD，测得BC=24cm，CD=18cm，进纸盘CH的端点H可以随调节扣HF向右平移，CH=18cm，HF=2cm，当HF向右移动6cm至H'F'时，点A，D，F'在同一直线上．

(1)、ABcm；

(2)、过点E作EG⊥AB于点G，测得 $E G = 16 c m ， A G = 4 c m ， P E = 2 \sqrt{65} c m$ ，连结PO，若线段OP恰好过 $\overset{⌢}{D E}$ 的中点，则点P到直线BC的距离为 cm．

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三、解答题（本题共有7个小题，共66分）

17. 解方程

(1)、 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$

(2)、 $3 x (x - 1) = {(1 - x)}^{2}$

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18. 如图，在△OAB中，点A的坐标是(-3，1)，点B的坐标是(-2，4)，将△OAB绕点O逆时针旋转180°得到△OA₁B₁ ．

(1)、画出△OA₁B₁ ．

(2)、求点A的运动路径长．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 经过(0，2)和(1，2)．

(1)、求该二次函数的表达式和对称轴．

(2)、当 $- 1 \leq x \leq 3$ 时，求该二次函数的最大值和最小值．

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20. 如图，正方形ABCD中，AB=9，E是BC上一点，过E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF.

(1)、证明：ΔABE∽ΔECF.

(2)、当BE=3时，求CF的长.

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21. 如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC ，连接AO并延长交⊙O于点E ，连接DE ，若AB＝4 $\sqrt{3}$ ，请完成下列计算

(1)、求⊙O的半径长；

(2)、求DE的长．

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22. 某商店购进一批单价为30元的日用商品，如果以单价40元销售，那么每星期可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．设销售单价为x（元）（x＞40）时，该商品每星期获得的利润y（元).

(1)、若该纪念品的销售单价为45元时，则当天销售量为件.

(2)、求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；

(3)、求出销售单价为多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？

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23. 定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”。

(1)、【概念理解】抛物线 $y = x^{2} - x - 2$ 与抛物线 $y = 2 x^{2} - 2 x - 4$ （填“能”或“不能”)围成“月牙线”.

(2)、【尝试应用】如图，抛物线C₁与抛物线C₂组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C₁与抛物线C₂与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，抛物线C₁的解析式为 $y = \frac{1}{4} x^{2} + x + c$ ，抛物线C₂的解析式为 $y = x^{2} + 4 x - 12$ .
①求MN的长和c的值；
②将抛物线C₁与抛物线C₂所围成的“月牙线”向左或向右平移，平移后的“月牙线”与x轴的交点记为M₁ ， N₁ ，与y轴的交点记为A₁ ， B₁ ，当A₁B₁=M₁N₁时，求平移的方向及相应的距离。

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24. 如图1，在矩形ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点E在AB边上，且 $A E = 1$ .点F是BC边上的动点.将 $△ B E F$ 沿EF折叠得到 $△ G E F$ .直线GF与直线AB的交点为H.

(1)、如图2，点F与点C重合时，求 $△ H E G$ 与 $△ H B C$ 的面积比；

(2)、如图3，当H在点A的上方，且满足三角形HEF是等腰三角形时，求线段EH的长.

(3)、在点F的运动过程中，以E、G、H为顶点的三角形能否与以B、C、D为顶点的三角形相似？若能，求BF的长；若不存在，请说明理由.

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