浙江省杭州市萧山区2023-2024学年九年级（上）数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-11-07 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列函数中，属于二次函数的是（）

A、 $y = x + 4$ B、 $y = (x - 3)^{2} - x^{2}$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}} - x$ D、 $y = 2 (x + 1)^{2} + 5$

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2. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， - 2)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(- 1 ， - 2)$

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3. 将抛物线 $y = (x - 1)^{2} + 2$ 向上平移 $3$ 个单位长度，再向右平移 $2$ 个单位长度后，得到抛物线的解析式为（）

A、 $y = (x - 1)^{2} + 5$ B、 $y = (x + 2)^{2} + 6$ C、 $y = (x - 4)^{2} + 6$ D、 $y = (x - 3)^{2} + 5$

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4. 已知点 $P_{1} (3 ， y_{1})$ ， $P_{2} (5 ， y_{2})$ 在二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + c$ 图象上，则下列关于 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 的大小关系的说法正确的是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法判断

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5. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 中，函数 $y$ 与自变量 $x$ 的部分对应值如表，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的一个解 $x$ 的范围是（）
$x$
$\dots$
$1$
$1.1$
$1.2$
$1.3$
$1.4$
$\dots$
$y$
$\dots$
$- 1$
$- 0.49$
$0.04$
$0.59$
$1.16$
$\dots$

A、 $1 < x < 1.1$ B、 $1.1 < x < 1.2$ C、 $1.2 < x < 1.3$ D、 $1.3 < x < 1.4$

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6. 一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 $10$ 米 $/$ 秒，经过 $t ($ 秒 $)$ 时球距离地面的高度 $h ($ 米 $)$ 适用公式 $h = 10 t - 5 t^{2}$ ，那么球弹起后又回到地面所花的时间 $t ($ 秒 $)$ 是（）

A、 $5$ B、 $10$ C、 $1$ D、 $2$

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7. 在“探索函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的系数 $a$ ， $b$ ， $c$ 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： $A (0 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (3 ， 1)$ ， $D (2 ， 3) .$ 同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中经过哪三个点的 $a$ 的值最大（）

A、点 $A$ ，点 $B$ ，点 $C$ B、点 $A$ ，点 $C$ ，点 $D$ C、点 $A$ ，点 $B$ ，点 $D$ D、点 $B$ ，点 $C$ ，点 $D$

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8. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，那么一次函数 $y = 2 a x + b$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a ⟨ 0 ， b ⟩ 0)$ 的顶点坐标为 $(m ， k)$ ，若 $m \cdot k < 0$ ，则抛线与 $x$ 轴的交点个数为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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10. 已知二次函数 $y = - (x - m)^{2} - m + 1 (m$ 为实数 $)$ ，下列说法正确的是（）

A、这个函数图象的顶点有可能在抛物线 $y = x^{2} + 2$ 上 B、当 $m = 2$ 且 $- 1 \leq x \leq 3$ 时， $- 10 \leq y \leq - 2$ C、点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 与点 $B (x_{2} ， y_{2})$ 在函数 $y$ 的图象上，若 $x_{1} < x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} > 2 m$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ D、当 $- 1 < x < 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，则 $m \geq 2$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 抛物线 $y = 2 (x + 2) (x - 3)$ 与 $y$ 轴的交点坐标为．

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象可以由抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 平移得到，且其顶点坐标为 $(2 ， - 1)$ ，则该二次函数的表达式为．

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13. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，且经过点 $(1 ， 1)$ ，则当 $x = 3$ 时， $y =$ ．

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与直线 $y = m x + n$ 交于 $A (- 1 ， p)$ ， $B (3 ， q)$ 两点，则不等式 $a x^{2} + c < m x + n$ 的解集是．

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15. 二次函数 $y = (x - m) (x - m - 2)$ 的最小值为．

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16. 设二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + 5 (m < 3) .$ 点 $A (t - 2 ， - 1)$ ， $B (3 ， n)$ ， $C (t ， - 1)$ 都在这个二次函数的图象上，且 $- 1 < n < 5$ ，则

(1)、 $m =$ $($ 用 $t$ 的代数式表示 $)$ ；

(2)、 $t$ 的取值范围为．

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三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 3$ ．

(1)、确定该函数的开口方向、顶点坐标和对称轴；

(2)、当 $x$ 取何值时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小？

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18. 已知二次函数 $y = 2 (x - 2)^{2} + m$ 经过原点，可以由哪条顶点在原点的抛物线经过平移得到？写出平移的过程．

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19. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 部分自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应值如下表所示：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$\dots$
$y$
$\dots$
$- 5$
$0$
$3$
$4$
$3$
$\dots$

(1)、求二次函数解析式；

(2)、在平面直角坐标系中画出二次函数的图象；

(3)、当 $- 3 \leq x \leq 2$ 时， $y$ 的取值范围是．

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20. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置 $O A$ ， $A$ 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间的关系式是 $y = - x^{2} + 2 x + \frac{5}{4} (x > 0)$ ．

(1)、水流喷出的最大高度是多少？

(2)、若不计其他因素，水池的半径 $O B$ 至少为多少，才能使喷出的水流不落在池外？

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21. 某商品的进价为每件 $40$ 元，已知该商品现在的售价为每件 $60$ 元，每星期可卖出 $300$ 件 $.$ 某商场为了倾销库存，决定对该商品进行降价促销，市场调查反映：如调整价格，每降价 $1$ 元，每星期可多卖出 $20$ 件 $.$ 那么如何定价才能使利润最大？

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6 c m$ ， $A C = 8 c m$ ， $A B = 10 c m$ ， $P$ 点在 $B C$ 上，从 $B$ 点到 $C$ 点运动 $($ 不包括 $C$ 点 $)$ ，点 $P$ 运动的速度为 $1 c m / s$ ； $Q$ 点在 $A C$ 上从 $C$ 点运动到 $A$ 点 $($ 不包括 $A$ 点 $)$ ，速度为 $2 c m / s .$ 若点 $P$ ， $Q$ 分别从 $B$ 、 $C$ 同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：

(1)、经过多少时间后， $P$ ， $Q$ 两点的距离最短，最短距离是多少？

(2)、经过多少时间后， $△ P C Q$ 的面积最大，最大面积是多少？

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23. 已知二次函数 $y = m x^{2} - 2 (m + 1) x + 4 (m$ 为非零实数 $)$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求二次函数图象与 $x$ 轴的交点坐标；

(2)、若二次函数有最小值 $w$ ．
$①$ 求证：当 $x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；
$②$ 求 $w$ 的取值范围．

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24. 如图，某小区准备用总长 $80 m$ 的篱笆围成一块矩形花圃 $A B C D .$ 为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆 $E F$ 与 $G H$ 将矩形 $A B C D$ 分割成 $① ② ③$ 三块矩形区域，而且这三块区域的面积相等，设 $C F = x | m$ ．

(1)、填空： $B C =$ $m . ($ 用含 $x$ 的代数式表示 $)$

(2)、当矩形区域 $①$ 的面积为 $96 m^{2}$ 时，求 $B C$ 长．

(3)、当围成的花圃 $A B C D$ 的面积最大时，求 $A B$ 长．

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$x$	$\dots$	$1$	$1.1$	$1.2$	$1.3$	$1.4$	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 1$	$- 0.49$	$0.04$	$0.59$	$1.16$	$\dots$

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 5$	$0$	$3$	$4$	$3$	$\dots$