浙江省杭州重点中学2023-2024学年九年级（上）数学开学试卷

试卷更新日期：2023-11-07 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若二次根式 $\sqrt{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x < 2$ D、 $x \leq 2$

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2. 已知 $⊙ O$ 的半径是 $3 c m$ ，则 $⊙ O$ 中最长的弦长是（）

A、 $3 c m$ B、 $6 c m$ C、 $1.5 c m$ D、 $\sqrt{3} c m$

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3. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别是 $A B ， A C$ 的中点，若菱形 $A B C D$ 的周长为 $24$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $3$ D、 $4$

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4. 某班共有 $48$ 名学生，体育课上老师统计全班一分钟仰卧起坐的个数，由于小亮没有参加此次集体测试，因此计算其他 $47$ 名学生一分钟仰卧起坐的平均个数为 $30$ 个，方差为 $15 .$ 后来小亮进行了补测，成绩为 $30$ 个，关于该班 $48$ 名学生的一分钟仰卧起坐个数，下列说法正确的是（）

A、平均个数不变，方差不变 B、平均个数变小，方差不变 C、平均个数变大，方差变大 D、平均个数不变，方差变小

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5. 已知二次函数 $y = - 2 x^{2} + 4 x + 3$ ，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（）

A、图象的开口向下 B、与 $x$ 轴有 $2$ 个交点 C、当 $x > - 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 D、对称轴是直线 $x = 1$

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6. 若点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $C (x_{3} ， y_{3})$ ，都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k > 0)$ 的图象上，其中 $y_{2} < 0 < y_{1} < y_{3}$ ，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ C、 $x_{1} < x_{3} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点，点 $F$ 在 $D E$ 上，且 $∠ A F B = 90 °$ ，若 $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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8. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 3) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m < 4$ 且 $m \neq 3$ B、 $m > 4$ C、 $m \geq 4$ D、 $m \leq 4$ 且 $m \neq 3$

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9. 当 $a \leq x \leq a + 2$ 时，二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 4$ 的最小值为 $1$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $3$ C、 $- 1$ 或 $3$ D、 $0$ 或 $3$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，当 $y > n$ 时， $x$ 的取值范围是 $m - 3 < x < 1 - m .$ 下列结论：
$①$ 对称轴是直线 $x = - 1$ ；
$② a > 0$ ；
$③$ 二次函数的图象经过点 $P (3 ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $y_{2} < y_{1}$ ，则 $x_{2} > 3$ ；
$④ y$ 有最大值 $c - a$ ．
其中正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $③ ④$ D、 $① ④$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 如图，在 $⊙ O$ 中的半径 $O A = 5 c m$ ，圆心 $O$ 到弦 $A B$ 的距离为 $3 c m$ ，则弦 $A B$ 的长度为 $c m$ ．

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12. 若平行四边形中两个内角的度数比为 $2$ ： $7$ ，则其中较大角的度数是．

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13. 如图，已经二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象如图所示，直线 $l / / x$ 轴，则当 $a x^{2} + b x + c \geq 1$ 时 $x$ 的取值范围．

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14. 已知 $y$ 关于 $x$ 的二次函数 $y = - x^{2} + (m - 1) x + m$ ，无论 $m$ 取何值，函数图象恒过定点 $A$ ，则点 $A$ 的坐标为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中， $△ O A B$ 的边 $O A$ 在 $x$ 轴正半轴上，其中 $∠ O A B = 90 °$ ，点 $C$ 为斜边 $O B$ 的中点，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象过点 $C$ 且交线段 $A B$ 于点 $D$ ，连结 $C D$ 、 $O D$ ，若 $S_{△ O C D} = \frac{3}{2}$ ，则 $k$ 的值为．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 纸片中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $B C$ 、 $A B$ 边上，连接 $D E$ ，将 $△ B D E$ 沿 $D E$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $F$ 的位置，且四边形 $B E F D$ 是菱形．

(1)、若点 $F$ 在 $A C$ 边上时，则菱形 $B E F D$ 的边长为；

(2)、连接 $A F$ ，则 $A F$ 的长的最小值为．

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三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.

(1)、计算： $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ．

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18. 张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组 $.$ 在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：

平均数
中位数
方差
张明

$13.3$
$0.004$
李亮
$13.3$

(1)、求张明成绩的平均数和李亮成绩的中位数；

(2)、现在从张明和李亮中选择一名成绩比较稳定的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．

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19. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $C F ⊥ B D$ 于点 $F$ ， $B E = C F$ ．

(1)、求证：▱ $A B C D$ 是矩形．

(2)、若 $O D = 13$ ， $C F = 12$ ，求 $B F$ 的长．

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20. 已知一次函数 $y_{1} = - x + 7$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k}{x}$ 图象交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A$ 点的横坐标 $- 1$ ，求：

(1)、反比例函数的解析式．

(2)、 $△ A O B$ 的面积．

(3)、直接写出满足 $y_{1} \leq y_{2}$ 时 $x$ 的取值范围．

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21. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶 $16$ 元，当销售单价定为每瓶 $20$ 元时，每天可售出 $60$ 瓶．市场调查反应：销售单价每上涨 $1$ 元，则每天少售出 $5$ 瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨 $x$ 元，每天的销售量利润为 $y$ 元．

(1)、写出每天的销售量，每瓶洗手液的利润； $($ 用含 $x$ 的代数式表示 $)$

(2)、若这款洗手液的日销售利润 $y$ 达到 $300$ 元，则销售单价应上涨多少元？

(3)、当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润 $y$ 最大，最大利为多少元？

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22. 二次函数 $y = a x^{2} + b x - 1 (a ， b$ 为常数， $a \neq 0)$ 的图象经过点 $A (2 ， 7)$ ．

(1)、若该函数图象经过点 $B (- 1 ， - 2)$ ，
$①$ 求函数的表达式．
$②$ 若点 $(- 5 ， y_{1}) (m ， y_{2})$ 是抛物线上不同的两个点，且 $y_{1} + y_{2} = 28$ ，求 $m$ 的值．

(2)、求 $2 a + b^{2}$ 的最小值．

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23. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在对角线 $A C$ 上，连接 $B E$ ， $D E$ ，延长 $D E$ 交 $B C$ 于点 $G$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ C B E = ∠ F$ ．

(2)、若 $G E = G B$ ，且 $B F = 2$ ，求正方形的边长．

(3)、若 $∠ B E G = 45 °$ ，求 $\frac{A B}{C G}$ 的值．

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	平均数	中位数	方差
张明		$13.3$	$0.004$
李亮	$13.3$