陕西省2023年中考数学试卷（B卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 计算： $| - 17 | =$ （）

A、 $17$ B、 $- 17$ C、 $\frac{1}{17}$ D、 $- \frac{1}{17}$

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2. 如图，沿线段 $O A$ 将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（）

A、三角形 B、正方形 C、扇形 D、圆

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3. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2}$ ，点 $A$ 在 $l_{2}$ 上， $A B ⊥ l_{3}$ ，垂足为 $B .$ 若 $∠ 1 = 138 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $38 °$ C、 $42 °$ D、 $48 °$

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4. 计算： $(- \frac{1}{2} x^{2} y)^{3} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} x^{6} y^{3}$ B、 $- \frac{1}{8} x^{2} y^{3}$ C、 $- \frac{1}{8} x^{6} y^{3}$ D、 $- \frac{3}{2} x^{5} y^{4}$

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5. 在平面直角坐标系中，直线 $y = - x + m (m$ 为常数 $)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，将该直线沿 $x$ 轴向左平移 $6$ 个单位长度后，与 $x$ 轴交于点 $A' .$ 若点 $A'$ 与 $A$ 关于原点 $O$ 对称，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 6$ D、 $6$

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6. 如图，在 $6 \times 7$ 的网格中，每个小正方形的边长均为 $1 .$ 若点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，则 $s i n B$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$

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7. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A = 72 ° .$ 过点 $O$ 作 $B C$ 的垂线交 $\overset{⌢}{B C}$ 于点 $D$ ，连接 $B D$ ，则 $∠ D$ 的度数为（）

A、 $64 °$ B、 $54 °$ C、 $46 °$ D、 $36 °$

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8. 如表中列出的是一个二次函数的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的几组对应值：
$x$
$\dots$
$- 3$
$0$
$3$
$5$
$\dots$
     $y$
     $\dots$
     $16$
     $- 5$
     $- 8$
     $0$
     $\dots$
则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（）

A、图象的顶点在第一象限 B、有最小值 $- 8$ C、图象与 $x$ 轴的一个交点是 $(- 1 ， 0)$ D、图象开口向下

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

9. 在实数 $\sqrt{2}$ ， $- 1$ ， $0$ ， $- \sqrt{5}$ ， $π$ 中，最小的无理数是．

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10. 分解因式： $3 x^{2} - 12 =$ ．

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11. 如图所示，是工人师傅用边长均为 $a$ 的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点 $O$ 进行的铺设 $.$ 若将一块边长为 $a$ 的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在 $∠ A O B$ 处，则这块正多边形地砖的边数是．

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12. 若点 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， m)$ ， $C (4 ， n)$ 都在同一个反比例函数的图象上，则 $m$ ， $n$ 的大小关系是 $m$ $n . ($ 填“ $>$ ”“ $=$ ”或“ $<$ ” $)$

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13. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 在 $A D$ 的延长线上，且 $D E = 2$ ，过点 $E$ 作直线 $l$ 分别交边 $C D$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N .$ 若直线 $l$ 将▱ $A B C D$ 的面积平分，则线段 $C M$ 的长为．

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三、解答题（本大题共13小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 计算： $6 \times (- \frac{1}{2}) + \sqrt{3} \times \sqrt{8} + (- 15)^{0}$ ．

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15. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x < \frac{x}{5} + 4 \\ 4 x + 1 > 3 (2 x - 1) \end{array}$ ．

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16. 解方程： $\frac{2 x}{x + 5} - 1 = \frac{x + 5}{x}$ ．

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17. 如图，已知四边形 $A B C D$ ， $A D / / B C .$ 请用尺规作图法，在边 $A D$ 上求作一点 $E$ ，在边 $B C$ 上求作一点 $F$ ，使四边形 $B F D E$ 为菱形 $. ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，作 $C D ⊥ A C$ ，且使 $C D = A C$ ，作 $D E ⊥ B C$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $E .$ 求证： $C E = A B$ ．

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19. “绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动 $.$ 今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组 $.$ 如果每组植 $5$ 棵，就会多出 $6$ 棵树苗；如果每组植 $6$ 棵，就会缺少 $9$ 棵树苗 $.$ 求学校这次共买了多少棵树苗？

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20. 从同一副扑克牌中选出四张牌，牌面数字分别为 $2$ ， $5$ ， $6$ ， $8 .$ 将这四张牌背面朝上，洗匀．

(1)、从这四张牌中随机抽出一张牌，这张牌上的牌面数字是偶数的概率是；

(2)、小明从这四张牌中随机抽出一张牌，记下牌面数字后，放回 $.$ 背面朝上，洗匀 $.$ 然后，小华从中随机抽出一张牌，请用画树状图或列表的方法，求小华抽出的牌上的牌面数字比小明抽出的牌上的牌面数字大的概率．

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21. 小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼 $A B$ 与 $C D$ 的高度差 $.$ 如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点 $E$ 处恰好可经过楼 $C D$ 的顶端 $C$ 看到楼 $A B$ 的底端 $B$ ，即点 $E$ ， $C$ ， $B$ 在同一直线上 $.$ 此时，测得点 $B$ 的俯角 $α = 22 °$ ，点 $A$ 的仰角 $β = 16.7 °$ ，并测得 $E F = 48 m$ ， $F D = 50 m .$ 已知， $E F ⊥ F B$ ， $C D ⊥ F B$ ， $A B ⊥ F B$ ，点 $F$ ， $D$ ， $B$ 在同一水平直线上 $.$ 求楼 $A B$ 与 $C D$ 的高度差 $. ($ 参考数据： $s i n 16.7 ° \approx 0.29$ ， $c o s 16.7 ° \approx 0.96$ ， $t a n 16.7 ° \approx 0.30$ ， $s i n 22 ° \approx 0.37$ ， $c o s 22 ° \approx 0.93$ ， $t a n 22 ° \approx 0.40)$

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22. 某农科所对当地小麦从抽穗期到灌浆期连续 $51$ 天的累计需水量进行研究，得到当地每公顷小麦在这 $51$ 天内累计需水量 $y (m^{3})$ 与天数 $x$ 之间的关系如图所示，其中，线段 $O A$ ， $A C$ 分别表示抽穗期、灌浆期的 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系．

(1)、求这 $51$ 天内， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、求当地每公顷小麦在整个灌浆期的需水量．

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23. 某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长 $($ 简称：停车时长 $)$ 的情况 $.$ 超市的管理部门随机采集了该停车场的 $60$ 个停车时长数据 $($ 单位：分钟 $)$ ，并将数据整理，绘制了如下统计图表：
组别
停车时长 $x /$ 分钟
组内平均停车时长 $/$ 分钟
$A$
$0 < x \leq 30$
$15$
$B$
$30 < x \leq 60$
$47$
$C$
$60 < x \leq 90$
$80$
$D$
$90 < x \leq 120$
$105$
$E$
$x > 120$
$200$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、请补全条形统计图；这 $60$ 个数据的中位数落在组；

(2)、求本次采集的这 $60$ 个数据的平均数；

(3)、如果超市想对停车时长不超过 $60$ 分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内 $1000$ 辆车中，有多少辆车免收停车费？

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24. 如图， $∠ M P N = 30 °$ ，点 $O$ 在 $P M$ 上， $⊙ O$ 与 $P N$ 相切于点 $A$ ，与 $P M$ 的交点分别为 $B$ ， $C .$ 作 $C D / / P N$ ，与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，作 $C E ⊥ P N$ ，垂足为 $E$ ，连接 $E O$ 并延长，交 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $C D = P A$ ；

(2)、若 $P A = 4$ ，求 $E F$ 的长．

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25. 某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度 $O M = 12$ 米，顶点 $P$ 到底部 $O M$ 的距离为 $9$ 米 $.$ 将该抛物线放入平面直角坐标系中，点 $M$ 在 $x$ 轴上 $.$ 其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一是“川”字形内部支架 $($ 由线段 $A B$ ， $P N$ ， $D C$ 构成 $)$ ，点 $B$ ， $N$ ， $C$ 在 $O M$ 上，且 $O B = B N = N C = C M$ ，点 $A$ ， $D$ 在抛物线上， $A B$ ， $P N$ ， $D C$ 均垂直于 $O M$ ；
方案二是“ $H$ ”形内部支架 $($ 由线段 $A' B'$ ， $D' C'$ ， $E F$ 构成 $)$ ，点 $B'$ ， $C'$ 在 $O M$ 上，且 $O B' = B' C' = C' M$ ，点 $A'$ ， $D'$ 在抛物线上， $A' B'$ ， $D' C'$ 均垂直于 $O M$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A' B'$ ， $D' C'$ 的中点．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．

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26.

(1)、如图 $①$ ， $∠ A O B = 120 °$ ，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的平分线上， $O P = 4 .$ 点 $E$ ， $F$ 分别在边 $O A$ ， $O B$ 上，且 $∠ E P F = 60 °$ ，连接 $E F .$ 求线段 $E F$ 的最小值；

(2)、如图 $②$ ，是一个圆弧型拱桥的截面示意图 $.$ 点 $P$ 是拱桥 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，桥下水面的宽度 $A B = 24 m$ ，点 $P$ 到水面 $A B$ 的距离 $P H = 8 m .$ 点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 均在 $\overset{⌢}{A B}$ 上， $\overset{⌢}{P P_{1}} = \overset{⌢}{P P_{2}}$ ，且 $P_{1} P_{2} = 10 m$ ，在点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 处各装有一个照明灯，图中 $△ P_{1} C D$ 和 $△ P_{2} E F$ 分别是这两个灯的光照范围 $.$ 两灯可以分别绕点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 左右转动，且光束始终照在水面 $A B$ 上 $.$ 即 $∠ C P_{1} D$ ， $∠ E P_{2} F$ 可分别绕点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ 按顺 $($ 逆 $)$ 时针方向旋转 $($ 照明灯的大小忽略不计 $)$ ，线段 $C D$ ， $E F$ 在 $A B$ 上，此时，线段 $E D$ 是这两灯照在水面 $A B$ 上的重叠部分的水面宽度 $.$ 已知 $∠ C P_{1} D = ∠ E P_{2} F = 90 °$ ，在这两个灯的照射下，当整个水面 $A B$ 都被灯光照到时，求这两个灯照在水面 $A B$ 上的重叠部分的水面宽度 $. ($ 可利用备用图解答 $)$

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$x$	$\dots$	$- 3$	$0$	$3$	$5$	$\dots$
$y$	$\dots$	$16$	$- 5$	$- 8$	$0$	$\dots$

组别	停车时长 $x /$ 分钟	组内平均停车时长 $/$ 分钟
$A$	$0 < x \leq 30$	$15$
$B$	$30 < x \leq 60$	$47$
$C$	$60 < x \leq 90$	$80$
$D$	$90 < x \leq 120$	$105$
$E$	$x > 120$	$200$