浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-11-07 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 二次函数 $y = (x - 3) (x + 5)$ 的图象的对称轴是（）

A、直线 $x = 3$ B、直线 $x = - 5$ C、直线 $x = - 1$ D、直线 $x = 1$

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2. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（）

A、在一个只装有白球的袋中，摸出黑球 B、 $a$ 是实数， $| a | ⩾ 0$ C、在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交 D、两数相加，和是正数

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3. 二次函数 $y = (x - 1)^{2}$ 的图象向左平移 $3$ 个单位后的函数为（）

A、 $y = (x - 4)^{2}$ B、 $y = (x + 2)^{2}$ C、 $y = (x - 1)^{2} + 3$ D、 $y = (x - 1)^{2} - 3$

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4. 从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为奇数的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 函数 $y = k x + k$ 和函数 $y = - k x^{2} + 4 x + 4 (k$ 是常数，且 $k \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知二次函数 $y = (x - 1)^{2} + 2$ ，则关于该函数的下列说法正确的是（）

A、当 $x = 1$ 时， $y$ 有最大值 $2$ B、当 $x > 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、当 $x$ 取 $0$ 和 $2$ 时，所得到的 $y$ 的值相同 D、图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0 ， 2)$

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7. 二次函数 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ．若 $y > - 3$ ，则自变量x的取值范围是（）

A、 $x < 0$ 或 $x > 2$ B、 $x < 1$ 或 $x > 3$ C、 $0 < x < 2$ D、 $1 < x < 3$

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8. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（）

A、小球滑行6秒停止 B、小球滑行12秒停止 C、小球滑行6秒回到起点 D、小球滑行12秒回到起点

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9. 已知二次函数的图象如图所示，则它的表达式可能是（）

A、 $y = - 4 (x - m)^{2} - m^{2} - 2$ B、 $y = - (x + a) (x - a + 1)$ C、 $y = - x^{2} - (a + 3) x + (- \frac{3}{5} a)$ D、 $y = a x^{2} - b x + b - a$

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10. 已知抛物线 $y = a (x - m) (x - n) (a ， m ， n$ 是实数， $a \neq 0)$ 与直线 $y = k x + b$ 交于 $(1 ， y_{1})$ ， $(6 ， y_{2})$ ，则下面判断正确的是（）

A、若 $m + n > 7$ ， $a > 0$ ，则 $k > 0$ B、若 $m + n > 7$ ， $a < 0$ ，则 $k < 0$ C、若 $m + n < 7$ ， $a > 0$ ，则 $k < 0$ D、若 $m + n < 7$ ， $a < 0$ ，则 $k < 0$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 二次函数 $y = \frac{1}{2} (x - 3)^{2} + 5$ 的最小值是．

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12. 抛物线的形状与 $y = x^{2}$ 相同，顶点是 $(- 2 ， 3)$ ，该抛物线解析式为．

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13. 一个布袋里放有5个红球，3个球黄球和2个黑球，它们除颜色外其余都相同，则任意摸出一个球是黑球的概率是．

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14. 抛物线y＝x²＋2经过点(c，c²＋c)，则c的值是．

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15. 已知二次函数 $y = - (x - 1)^{2} + 2$ ，当 $t < x < 5$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $t$ 的范围是．

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16. 已知二次函数 $y = (x - m)^{2} - (x - m)$ 的对称轴为直线 $x = n$ ，则 $n$ ， $m$ 满足的关系式是，若把该函数向上平移 $k$ 个单位，使得对于任意的 $x$ 都有 $y > 0$ ，则 $k$ 的取值范围是．

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三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知二次函数 $y = - (x + 1)^{2} + 4$ 的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数 $y = - (x - 2)^{2} + 7$ 的图象．

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18. 已知二次函数 $y = - (x - 1)^{2} + k$ 的图象过点 $(0 ， 3)$ ．

(1)、求该二次函数的表达式．

(2)、求该二次函数图象与 $x$ 轴的交点坐标．

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19. 一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别.

(1)、从布袋里任意摸出一个小球，求上面的数字恰好是“3”的概率.

(2)、从布袋里任意摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球，记录其数字，求两次记录的数字之和为3的概率.（要求列表或画树状图说明）

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20. 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E，F，G，H四点依次是边AB，BC，CD，DA上一点(不与各顶点重合)，且AE=AH=CG=CF，记四边形EFGH面积为S(图中阴影)，AE=x．

(1)、求 $S$ 关于 $x$ 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围．

(2)、求 $x$ 为何值时， $S$ 的值最大，并写出 $S$ 的最大值．

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21. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是常数，且 $a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如表：
$x$
$\dots$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$\dots$
$y$
$\dots$
$0$
$- 2$
$- 2$
$n$
$\dots$

(1)、直接写出 $n$ 的值，并求该二次函数的表达式；

(2)、点 $Q (m ， 4)$ 能否在该函数图象上？若能，请求出 $m$ 的值，若不能，请说明理由．

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22.
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{5}{2}$ ）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

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23. 某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．

(1)、直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)、将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

(3)、该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．

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24. 已知，在平面直角坐标系中，有二次函数 $y = a x^{2} + (a + 1) x (a \neq 0)$ 的图象．

(1)、若该图象过点 $(1 ， - 3)$ ，求这个二次函数的表达式；

(2)、 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 是该函数图象上的两个不同点．
$①$ 若 $x_{1} + x_{2} = 4$ 时，有 $y_{1} = y_{2}$ ，求 $a$ 的值；
$②$ 当 $x_{1} > x_{2} \geq - 3$ 时，恒有 $y_{1} > y_{2}$ ，试求 $a$ 的取值范围．

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$x$	$\dots$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$\dots$
$y$	$\dots$	$0$	$- 2$	$- 2$	$n$	$\dots$