浙江省嘉兴市桐乡六中教育集团2023-2024学年九年级（上）数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-11-07 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、任意抛掷一枚硬币，出现正面 B、从2、4、6、8、10这5张卡片中任抽一张是奇数 C、从装有一个红球三个黄球的袋子中任取两球，至少有一个是黄球 D、投掷一枚普通骰子，朝上一面的点数是3

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2. 抛物线 $y = x^{2} - 4$ 与 $y$ 轴的交点坐标是（）

A、 $(0 ， - 4)$ B、 $(- 4 ， 0)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(0 ， 2)$

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3. 把抛物线 $y = x^{2}$ 向左平移 $1$ 个单位，所得的新抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = (x + 1)^{2}$ C、 $y = x^{2} - 1$ D、 $y = (x - 1)^{2}$

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4. 小刚掷一枚均匀的硬币，一连99次都掷出正面朝上，当他第100次掷硬币时，出现正面朝上的概率是（）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{100}$

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5. 若二次函数 $y = m x^{2} + x + m (m - 2)$ 的图象经过原点，则 $m$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $0$ C、 $2$ 或 $0$ D、 $1$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0 ， a ， b ， c$ 为常数 $)$ 的部分对应值列表如下：
$x$
$\dots$
$- 2$
$- 1$
$0$
$1$
$2$
$\dots$
$y$
$\dots$
$- 2.5$
$- 5$
$- 2.5$
$5$
$17.5$
$\dots$
则代数式 $16 a - 4 b + c$ 的值为（）

A、 $17.5$ B、 $5$ C、 $- 5$ D、 $- 17.5$

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7. 小明将如图两水平线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的其中一条当成 $x$ 轴，且向右为正方向；两条直线 $l_{3}$ 、 $l_{4}$ 的其中一条当成 $y$ 轴，且向上为正方向，并在此坐标平面中画出二次函数 $y = a x^{2} - 2 a^{2} x + 1$ 的图象，则（）

A、 $l_{1}$ 为 $x$ 轴， $l_{3}$ 为 $y$ 轴 B、 $l_{2}$ 为 $x$ 轴， $l_{3}$ 为 $y$ 轴 C、 $l_{1}$ 为 $x$ 轴， $l_{4}$ 为 $y$ 轴 D、 $l_{2}$ 为 $x$ 轴， $l_{4}$ 为 $y$ 轴

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8. 若实数 $a$ 为不大于 $6$ 的非负整数，则使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x - 3} + \frac{x - a}{3 - x} = 1$ 的解为整数的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{7}$

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9. 某小区有一块绿地如图中等腰直角 $△ A B C$ 所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧 $P M B N$ ，其中点 $P$ ， $M$ ， $N$ 分别在边 $A C$ ， $B C$ ， $A B$ 上，记 $P M = x m$ ， $P N = y m$ ，图中阴影部分的面积为 $S m^{2}$ ，当 $x$ 在一定范围内变化时， $y$ 和 $S$ 都随 $x$ 的变化而变化，则 $y$ 与 $x$ ， $S$ 与 $x$ 满足的函数关系分别是（）

A、一次函数关系，二次函数关系 B、一次函数关系，反比例函数关系 C、二次函数关系，一次函数关系 D、反比例函数关系，二次函数关系

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10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，当点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 满足 $2 (x_{1} + x_{2}) = y_{1} + y_{2}$ 时，称点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是点 $P (x_{1} ， y_{1})$ 的“倍增点”，已知点 $P_{1} (1 ， 0)$ ，有下列结论：
①点 $Q_{1} (3 ， 8)$ ， $Q_{2} (- 2 ， - 2)$ 都是点 $P_{1}$ 的“倍增点”；
②若直线 $y = x + 2$ 上的点A是点 $P_{1}$ 的“倍增点”，则点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 4)$ ；
③抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 上存在两个点是点 $P_{1}$ 的“倍增点”；
④若点 $B$ 是点 $P_{1}$ 的“倍增点”，则 $P_{1} B$ 的最小值是 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．
其中，正确结论的个数是（　　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 从 $- \frac{1}{2}, - 1, 1, 2, 5$ 中任取一数作为 $a$ ，使抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的开口向上的概率为．

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12. 已知点 $A (- 1 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (4 ， y_{3})$ 在二次函数 $y = x^{2} - 6 x + c$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是 $($ 用“ $>$ ”连接 $)$ ．

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13. 若将二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 3$ 配方为 $y = {(x - h)}^{2} + k$ 的形式，则y=。

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14. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象如图，下列结论中： $① b^{2} > 4 a c$ ； $② a b c < 0$ ； $③ 2 a + b - c > 0$ ； $④ a + b + c = 0 .$ 正确的有 $. ($ 填序号 $)$

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15. 坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点 $P$ ， $Q$ 均在 $x$ 轴上，且有一条水平线与两图象相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，各点位置如图所示，若 $A B = 10$ ， $B C = 5$ ， $C D = 6$ ，则 $P Q$ 的长度为．

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a$

(1)、若 $a = 1$ ，则函数 $y$ 的最小值为．

(2)、若当 $1 \leq x \leq 4$ 时， $y$ 的最大值是 $4$ ，则 $a$ 的值为．

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三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌上，随机抽取一张作为十位上的数字（不放回），再抽取一张作为个位上的数字.

(1)、能组成哪些两位数？（请用树状图表示出来）

(2)、恰好是偶数的概率是多少？

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18. 如图， $A (- 1 ， 0)$ 、 $B (2 ， - 3)$ 两点在一次函数 $y_{2} = - x + m$ 与二次函数 $y_{1} = a x^{2} + b x - 3$ 的图象上 $.$

(1)、求一次函数和二次函数的解析式；

(2)、请直接写出 $y_{2} > y_{1}$ 时，自变量 $x$ 的取值范围．

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19. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m.现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中.

(1)、求这条抛物线的解析式.

(2)、一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

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20. 一个不透明口袋中装有红球 $6$ 个，黄球 $9$ 个，绿球 $3$ 个，这些球除颜色处没有任何其他区别现．从中任意摸出一个球．

(1)、计算摸到的是绿球的概率．

(2)、如果要使摸到绿球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，需要在这个口袋中再放入多少个绿球？

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21. 已知二次函数 $y = x^{2} - (m - 2) x - m$ （m为常数）．

(1)、求证：函数与 $x$ 轴有两个交点；

(2)、若当 $x \geq 3$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围．

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22. 某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)、这种花卉成活的频率稳定在附近，估计成活概率为 $. ($ 精确到 $0.1)$

(2)、该林业局已经移植这种花卉 $20000$ 棵．
$①$ 估计这批花卉成活的棵数；
$②$ 根据市政规划共需要成活 $90000$ 棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？

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23. 某企业准备对A ， B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益 $y_{A}$ （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为： $y_{A} = \frac{2}{5} x$ ，投资B项目一年后的收益 $y_{B}$ （万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为： $y_{B} = - \frac{1}{5} x^{2} + 2 x$ ．

(1)、若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？

(2)、若对A ， B两个项目投入相同的资金m（ $m > 0$ ）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？

(3)、2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A ， B两个项目中，当A ， B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？

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24. 抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{3} x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ，点 $P$ 为第一象限内抛物线上的动点，过点 $P$ 作 $P E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $1$ ，当线段 $E O$ 长度是线段 $P F$ 长度的 $3$ 倍时，求点 $P$ 的横坐标；

(3)、如图 $2$ ，当点 $P$ 运动到抛物线顶点时，点 $Q$ 是 $y$ 轴上的动点，连接 $B Q$ ，过点 $B$ 作直线 $l ⊥ B Q$ ，连接 $Q F$ 并延长交直线 $l$ 于点 $M$ ，当 $B Q = B M$ 时，请直接写出点 $Q$ 的坐标．

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$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$\dots$
$y$	$\dots$	$- 2.5$	$- 5$	$- 2.5$	$5$	$17.5$	$\dots$