广东省湛江市雷州八中2023-2024学年九年级（上）数学9月月考试

试卷更新日期：2023-11-07 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中，是负数的是（）

A、 $| - 1 |$ B、 $- 2^{2}$ C、 $(- \sqrt{3})^{2}$ D、 $(- 3)^{0}$

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2. $《$ 北京市生活垃圾管理条例 $》$ 对生活垃圾分类提出更高要求，并于 $2020$ 年 $5$ 月 $1$ 日起施行．如图所示垃圾分类标志，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列函数中，是二次函数的是（）

A、 $y = - \frac{2}{x}$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = 2 x + 1$ D、 $y = - 2 x^{2} + 1$

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4. 若关于 $x$ 的函数 $y = (m - 2) x^{2} - x + 1$ 是二次函数，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m > 2$ B、 $m < 2$ C、 $m \neq 2$ D、 $m \neq 0$

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5. 方程 $x^{2} + 6 x - 9 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根． B、有两个不相等的实数根 C、有一个根为 $- 1$ D、没有实数根

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6. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 7 = 0$ ，可变形为（）

A、 $(x - 2)^{2} = 7$ B、 $(x - 2)^{2} = 11$ C、 $(x + 2)^{2} = 7$ D、 $(x + 2)^{2} = 11$

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7. 元旦班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了 $90$ 张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是（）

A、 $9$ 人 B、 $10$ 人 C、 $18$ 人 D、 $12$ 人

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8. 三角形两边长分别为 $4$ 和 $6$ ，第三边的长是方程 $x^{2} - 14 x + 40 = 0$ 的根，则该三角形的周长为（）

A、 $14$ B、 $16$ C、 $20$ D、 $14$ 或 $20$

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9. 已知关于 $x$ 的方程 $(a - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq 2$ B、 $a > 2$ C、 $a \leq 2$ 且 $a \neq 1$ D、 $a < - 2$

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10. 给出下列说法： $①$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，若 $b^{2} - 4 a c < 0$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一定没有实数根； $②$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，若 $a + b + c = 0$ ，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有实数根； $③$ 若 $x = a$ 是方程 $x^{2} + b x - a = 0$ 的根，则 $a + b = 1$ ； $④$ 若 $a$ ， $b$ ， $c$ 为三角形三边，方程 $(a + c) x^{2} - 2 b x + a - c = 0$ 有两个相等实数根，则该三角形为直角三角形，其中正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $① ④$ C、 $① ② ④$ D、 $① ③ ④$

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 将方程 $3 x (x - 1) - 2 (x + 2) - 4 = 0$ 化成一般形式是．

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12. 已知 $x = 1$ 是方程 $x^{2} + a x + 3 = 0$ 的一个根，则 $a$ 的值为．

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13. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 5$ ，当 $x = 3$ 时， $y =$ ．

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14. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是一元二次方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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15. 对于实数 $p$ ， $q$ ，我们用符号 $m i n {p ， q}$ 表示 $p$ ， $q$ 两数中较小的数，如 $m i n {1 ， 2} = 1$ ， $m i n {- 2 ， - 3} = - 3$ ，若 $m i n {(x + 1)^{2} ， x^{2}} = 1$ ，则 $x =$ ．

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三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x = 2$ ； $($ 用配方法 $)$

(2)、 $2 x^{2} + 3 = 3 x$ ； $($ 用公式法 $)$

(3)、 $(x + 2)^{2} - 3 (x + 2) = 0 . ($ 用适当的方法 $)$

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17. 已知 $x = - 1$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + c = 0$ 的一个根，求 $c$ 的值和方程的另一根．

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18. 若 $y = (m - 1) x^{m^{2} + 2 m - 1} + 3$ ．

(1)、 $m$ 取什么值时，此函数是二次函数？

(2)、 $m$ 取什么值时，此函数是一次函数？

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19. 某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同.

(1)、求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；

(2)、假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} - 4 x + k - 1 = 0$ 有实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若此方程的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为矩形的两对角线长，求 $k$ ；

(3)、若 $k$ 为正整数，此方程的两根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \frac{1}{x_{1} x_{2}}$ ．

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21. 有一块长为a米，宽为b米的长方形场地，计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路，余下的四块长方形场地建成草坪．

(1)、已知 $a = 24 ， b = 14$ ，且四块草坪的面积和为264平方米，则每条道路的宽x为多少米？

(2)、若 $a ： b = 2 ： 1 ， x = 2$ ，且四块草坪的面积和为264平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？

(3)、已知 $a = 28 ， b = 14$ ，现要在场地上修建若干条宽均为2米的纵横小路，假设有m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（其中 $m > 2$ ， m ， n为常数），使草坪地的总面积为132平方米，则 $m^{2} + n^{2} =$ （直接写出答案）．

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22. 直播购物逐渐走进了人们的生活 $.$ 某电商在某 $A P P$ 上对一款成本价为 $30$ 元 $/$ 件的小商品进行直播销售，如果按每件 $40$ 元销售，每月可卖出 $600$ 件 $.$ 通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨 $1$ 元，每月的销售件数就减少 $10$ 件 $.$ 为了使每月的销售利润为 $10000$ 元，每件小商品的售价应定为多少元？这时电商每月能售出小商品多少件？

(1)、解法 $1$ ：设每件小商品涨价 $x$ 元，由题意得方程：．
解法 $2$ ：设每件小商品的售价应定为 $y$ 元，由题意得方程：．

(2)、请你选择(1)中的一种解法完成解答．

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23. 苏科版九上数学 $p 31$ 阅读 $《$ 各类方程的解法 $》$ 中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解．

(1)、问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ ， $x_{3} =$ ；

(2)、用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、拓展：若实数 $x$ 满足 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 3 x - \frac{3}{x} = 2$ ，求 $x + \frac{1}{x}$ 的值.

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