青海省西宁市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-11-07 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）

1. -2023的相反数是（）

A、2023 B、-2023 C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $- \frac{1}{2023}$

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2. 算式-3□1的值最小时，□中填入的运算符号是（）

A、+ B、- C、× D、÷

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3. 河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸.以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列说法正确的是（）

A、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B、任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件 C、数据4，9，5，7的中位数是6 D、甲、乙两组数据的方差分别是 $s_{甲}^{2} = 0.4$ ， $s_{乙}^{2} = 2$ ，则乙组数据比甲组数据稳定

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{(- 5)^{2}} = - 5$ C、 $(3 - \sqrt{2})^{2} = 11 - 6 \sqrt{2}$ D、 $6 \div \frac{2}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 3$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于P ， Q两点，作直线 $P Q$ 交 $A B$ ， $A C$ 于点D ， E ，连接 $C D$ .下列说法错误的是（）

A、直线 $P Q$ 是 $A C$ 的垂直平分线 B、 $C D = \frac{1}{2} A B$ C、 $D E = \frac{1}{2} B C$ D、 $S_{△ A D E} ： S_{四边形 D B C E} = 1 ： 4$

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7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$

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8. 直线 $y_{1} = a x + b$ 和抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x$ （a ， b是常数，且 $a \neq 0$ ）在同一平面直角坐标系中，直线 $y_{1} = a x + b$ 经过点 $(- 4 ， 0)$ .下列结论：
①抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x$ 的对称轴是直线 $x = - 2$
②抛物线 $y_{2} = a x^{2} + b x$ 与x轴一定有两个交点
③关于x的方程 $a x^{2} + b x = a x + b$ 有两个根 $x_{1} = - 4$ ， $x_{2} = 1$
④若 $a > 0$ ，当 $x < - 4$ 或 $x > 1$ 时， $y_{1} > y_{2}$
其中正确的结论是（）

A、①②③④ B、①②③ C、②③ D、①④

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二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）

9. 如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作℃.

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10. 从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000.将1030000000用科学记数法表示为.

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11. 计算： $3 a^{2} b \cdot (- a)^{2} =$ .

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12. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着 $\frac{22}{7}$ ， $\sqrt{6}$ ， -0.5， $π$ ， 0.背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是.

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13. 象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花.为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买棵.

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14. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 12$ ， $∠ A = 42 °$ ，则 $B C$ 的长约为.（结果精确到0.1.参考数据： $s i n 42 ° \approx 0.67$ ， $c o s 42 ° \approx 0.74$ ， $t a n 42 ° \approx 0.90$ ）

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15. 已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是Ω.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 100 °$ ，点D在 $B C$ 边上，连接 $A D$ ，若 $△ A B D$ 为直角三角形，则 $∠ A D B$ 的度数是.

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17. 如图，边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，分别过点A ， D作 $⊙ O$ 的切线，两条切线交于点P ，则图中阴影部分的面积是.

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点P在 $B C$ 边上，连接 $P A$ ，将 $P A$ 绕点P顺时针旋转90°得到 $P A^{'}$ ，连接 $C A^{'}$ ..若 $A D = 9$ ， $A B = 5$ ， $C A^{'} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $B P =$ .

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三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分，第23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，第27题12分，共76分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）

19. 计算： $- 1^{4} + | 1 - \sqrt{2} | - (π - 3.14)^{0}$ .

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20. 计算： $(2 a - 3)^{2} - (a + 5) (a - 5)$ .

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21. 先化简，再求值： $(\frac{a}{a^{2} - b^{2}} - \frac{1}{a + b}) \div \frac{1}{a^{2} - a b}$ ，其中a ， b是方程 $x^{2} + x - 6 = 0$ 的两个根.

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22. 藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯.西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”。

(1)、为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测.本次抽样调查的样本容量是；

(2)、6月10日是我国文化和自然遗产日.某校举办非遗文化进校园活动，决定从A ， B ， C ， D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化.请用画树状图或列表的方法求出A ， B两人同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.

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23. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E ， F分别在 $A B$ ， $C D$ 的延长线上，且 $B E = D F$ ，连接 $E F$ 与 $A C$ 交于点M ，连接 $A F$ ， $C E$ .

(1)、求证： $△ A E M ≌ △ C F M$ ；

(2)、若 $A C ⊥ E F$ ， $A F = 3 \sqrt{2}$ ，求四边形 $A E C F$ 的周长.

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24. 一次函数 $y = 2 x - 4$ 的图象与x轴交于点A ，且经过点 $B (m ， 4)$ .

(1)、求点A和点B的坐标；

(2)、直接在图6的平面直角坐标系中画出一次函数 $y = 2 x - 4$ 的图象；

(3)、点P在x轴的正半轴上，若 $△ A B P$ 是以 $A B$ 为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标.

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，半径 $O C ⊥ A B$ ，垂足为D ，弦 $C E$ 与 $A B$ 交于点F ，连接 $A E$ ， $A C$ ， $B C$ .

(1)、求证： $∠ B A C = ∠ E$ ；

(2)、若 $A B = 8$ ， $D C = 2$ ， $C E = 3 \sqrt{10}$ ，求 $C F$ 的长.

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26. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.
【操作】如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点M在边 $A D$ 上，将矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M C$ 所在的直线折叠，使点D落在点 $D^{'}$ 处， $M D^{'}$ 与 $B C$ 交于点N.
【猜想】 $M N = C N$

(1)、【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片 $A B C D$ 沿 $M C$ 所在的直线折叠
∴ $∠ C M D =$     ▲
∵四边形 $A B C D$ 是矩形
∴ $A D ∥ B C$ （矩形的对边平行）
∴ $∠ C M D =$     ▲    （）
∴    ▲     $=$     ▲    （等量代换）
∴ $M N = C N$ （）

(2)、【应用】
如图2，继续将矩形纸片 $A B C D$ 折叠，使 $A M$ 恰好落在直线 $M D^{'}$ 上，点A落在点 $A^{'}$ 处，点B落在点 $B^{'}$ 处，折痕为 $M E$ .
①猜想 $M N$ 与 $E C$ 的数量关系，并说明理由；
②若 $C D = 2$ ， $M D = 4$ ，求 $E C$ 的长.

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27. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点 $A (6 ， 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， - 6)$ ，抛物线经过点A ， B ，且对称轴是直线 $x = 1$ .

(1)、求直线l的解析式；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作 $P C ⊥ x$ 轴，垂足为C ，交直线l于点D ，过点P作 $P M ⊥ l$ ，垂足为M.求 $P M$ 的最大值及此时P点的坐标.

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