黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二上学期10月期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 1) ， \vec{b} = (- 2 ， 3 ， 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} =$ （）

A、-19 B、-20 C、20 D、19

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2. 直线 $4 x - 3 y + m = 0$ 的一个方向向量是（）

A、 $(4 ， 3)$ B、 $(4 ， - 3)$ C、 $(3 ， 4)$ D、 $(3 ， - 4)$

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3. 已知椭圆 $C ： 9 x^{2} + 4 y^{2} = 1$ ，则椭圆的长轴长为（）

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 若圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 关于直线 $2 a x - b y + 1 = 0$ 对称，则 $a + b$ 等于（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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5. 已知空间三点 $A (1 ， - 1 ， 2) ， B (3 ， 0 ， - 1) ， C (2 ， 3 ， - 3)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C B}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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6. 空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，经过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，且法向量为 $\vec{m} = (A ， B ， C)$ 的平面方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ ，经过点 $P (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ 且一个方向向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c) (a b c \neq 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ ，阅读上面的内容并解决下面问题：现给出平面 $α$ 的方程为 $2 x - 7 y + z - 4 = 0$ ，经过 $(0 ， 0 ， 0)$ 的直线 $l$ 的方程为 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 1}$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$

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7. 已知直线 $y = 2 x + m$ 与曲线 $y = \sqrt{4 x - x^{2}}$ 有两个不同的交点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $[0 ， 2 \sqrt{5} - 4)$ B、 $[0 ， 2 \sqrt{5} - 4]$ C、 $[- 2 \sqrt{5} - 4 ， 0)$ D、 $[- 2 \sqrt{5} - 4 ， 0]$

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8. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为F ，上顶点为A ，直线AF与E相交的另一点为M ，点M在x轴的射影为点N ， O为坐标原点，若 $\vec{A O} = 3 \vec{N M}$ ，则E的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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二、多选题

9. 关于直线 $l ： \sqrt{3} x - y - 1 = 0$ ，下列说法正确的有（）

A、过点 $(\sqrt{3} ， - 2)$ B、斜率为 $\sqrt{3}$ C、倾斜角为60° D、在 $y$ 轴上的截距为1

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10. 已知圆心为 $C$ 的圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 11 = 0$ 与点 $A (0 ， - 5)$ ，则（）

A、圆 $C$ 的半径为2 B、点 $A$ 在圆 $C$ 外 C、点 $A$ 与圆 $C$ 上任一点距离的最大值为 $3 \sqrt{2}$ D、点 $A$ 与圆 $C$ 上任一点距离的最小值为 $\sqrt{2}$

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11. 已知点P是椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ B、若点M是椭圆上一动点，则 $\vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}}$ 的最大值为9 C、点P的纵坐标为 $\frac{5 \sqrt{3}}{6}$ D、 $△ F_{1} P F_{2}$ 内切圆的面积为 $\frac{π}{3}$

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12. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = A D = 2 ， E ， F ， G$ 分别为 $D A ， D C ， P B$ 的中点，则（）

A、若 $P C$ 的中点为M，则四面体 $D - B C M$ 是鳖臑 B、 $C G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点S是平面 $P A C$ 内的动点，若 $S D + S G = 2$ ，则动点S的轨迹是圆 D、过点E，F，G的平面与四棱锥 $P - A B C D$ 表面交线的周长是 $2 + 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 若直线 $l_{1} ： 2 x + a y - 4 = 0$ 与直线 $l_{2} ： (a - 1) x + 3 y - 4 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为.

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14. 已知直线 $l$ 的方向向量为 $(- 3 ， m ， 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $(n ， 3 ， 4)$ ，且 $l ⊥ α$ ，则 $2 m + n =$ .

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15. 已知圆 $C_{1} ： (x - a)^{2} + y^{2} = 36$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + (y - b)^{2} = 4$ 只有一条公切线，则 $a^{2} + b^{2} =$ .

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16. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 经过左焦点 $F_{1}$ 且交C于A ， B两点（点A在第一象限），设 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，若 $\frac{r_{1}}{r_{2}} = 2$ ，则椭圆的离心率 $e =$ ．

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四、解答题

17. 已知直线 $l$ 经过点 $P (2 ， 1) ， Q (4 ， 5)$ ．

(1)、求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若直线 $m$ 与直线 $l$ 垂直，且在 $y$ 轴上的截距为2，求直线 $m$ 的方程．

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18. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，点 $M (2 ， 1)$ ．

(1)、若椭圆的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $D$ ，求点 $M$ 到直线 $D F$ 的距离；

(2)、若点 $M$ 是椭圆的弦 $A B$ 的中点，求直线 $A B$ 的方程．

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19. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $P D = A D = 2 ， ∠ D A B = 60 °$ ， M是 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求二面角 $M - D B - P$ 的余弦值．

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20. 已知圆 $C$ 经过 $A (0 ， 2) ， B (1 ， 1)$ ，且圆心在直线 $l_{1} ： 2 x + y - 4 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若从点 $M (3 ， 5)$ 发出的光线经过直线 $l_{2} ： x + y - 1 = 0$ 反射后恰好平分圆 $C$ 的圆周，求反射光线所在直线的方程.

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21. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F / / A B$ ， $A D = 2$ ， $A B = A F = 2 E F = 1$ ，点 $P$ 为棱 $D F$ 上一点（不含端点）．

(1)、当 $F P$ 为何值时， $A P ⊥ P C$ ；

(2)、求直线 $D E$ 与平面 $B C F$ 所成角的正弦值．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点P为E上的一动点， $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆E的左､右焦点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、过点 $(2 ， 0)$ 的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求 $△ F_{1} P Q$ 面积的最大值及此时l的方程.

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