北京市丰台区2024届高三上学期期中练习数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $P = {x | - 1 ≤ x ≤ 1}$ ， $Q = {x \in N | \frac{x}{x - 2} \leq 0}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1}$

查看试题解析
2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）

A、 $y = 2^{x}$ B、 $y = l n | x |$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = t a n x$

查看试题解析
3. 在复平面上，复数 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ 所对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的值可以为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

查看试题解析
4. 已知平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ （）

A、12 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中， $a c o s B - \frac{\sqrt{3}}{2} b = c$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
6. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{2023} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $3$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{1}{3}$

查看试题解析
7. 设定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ ，其导函数为 $f^{^{'}} (x)$ ，则“函数 $f (x)$ 在 $[a ， b]$ 上单调递增”是“ $x \in (a ， b)$ 时，导函数 $f^{'} (x) > 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
8. 将函数 $f (x) = s i n 2 x$ 的图象向左平移 $φ$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $y = f (x) + g (x)$ 的最大值为 $a$ ，则 $a$ 的值不可能为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2} + 1$

查看试题解析
9. 分贝（ $d B$ ）、奈培（ $N p$ ）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为 $1 d B = 10 l g \frac{A}{A_{0}}$ ， $1 N p = \frac{1}{2} l n \frac{A}{A_{0}}$ ，其中 $A$ 为待测值， $A_{0}$ 为基准值．如果 $1 d B = t N p (t \in R)$ ，那么 $t \approx$ （）（参考数据： $l g e \approx 0.4343$ ）

A、8.686 B、4.343 C、0.8686 D、0.115

查看试题解析
10. 如图，已知BD是圆O的直径，AC是与BD垂直的弦，且AC与BD交于点E ，点P是线段AD上的动点，直线 $P E$ 交BC于点Q ．当 $\vec{P D} \cdot \vec{P B}$ 取得最小值时，下列结论中一定成立的是（）

A、 $O Q ⊥ B C$ B、 $O P ⊥ A D$ C、 $P Q / / A B$ D、 $O P / / A C$

查看试题解析

二、填空题

11. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x + 1}$ 的定义域为．

查看试题解析
12. 已知平面向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (2 ， - 1)$ ，若 $m \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 共线，则 $m$ 的值为．

查看试题解析
13. 能说明命题“对于任意 $s ， t \in R$ ， ${[m a x {s ， t}]}^{2} = m a x {s^{2} ， t^{2}}$ ”为假命题的一组整数 $s ， t$ 的值依次为．（ $m a x {a ， b}$ 表示实数 $a ， b$ 中的最大值）

查看试题解析
14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x - a} ， x < a \\ x^{2} - 2 x ， x \geq a \end{array}$ 其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的单调递增区间为；

(2)、若函数 $f (x)$ 的值域为 $A$ ，存在实数 $m \notin A$ ，则 $a$ 的取值范围为．

查看试题解析
15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a ， a_{n + 1} = \sqrt{\frac{1}{2} a_{n}^{2} + 2} (n \in N^{*})$ ，则
① 当 $a = - 1$ 时，存在 $k \in N^{*}$ ，使得 $a_{k} = 2$ ；
② 当 $a = 1$ 时， ${a_{n}}$ 为递增数列，且 $a_{n} < 2$ 恒成立；
③ 存在 $a \in R$ ，使得 ${a_{n}}$ 中既有最大值，又有最小值；
④ 对任意的 $a \in R$ ，存在 $n_{0} \in N^{*}$ ，当 $n > n_{0}$ 时， $| a_{n} - 2 | < \frac{1}{2023}$ 恒成立．
其中，正确结论的序号有．

查看试题解析

三、问答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $a = 5$ ， $b = 11$ ， $c o s C = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $c$ 及 $s i n A$ 的值．

查看试题解析
17. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $a_{3} - a_{1} = 3$ ， $S_{3} = 7$ ．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{2} (S_{n} + 1)$ ，记 $T_{n} = b_{1} + b_{2} + ⋯ + b_{n}$ ，求 $T_{n}$ ．

查看试题解析
18. 已知函数 $f (x) = s i n x (a + c o s x)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{3}$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调区间．

查看试题解析
19. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x \cdot c o s ω x + c o s^{2} ω x (0 < ω < 2)$ ，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知．
条件①：函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{1}{2})$ ；
条件②：函数 $f (x)$ 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ；
条件③：函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值．

查看试题解析
20. 已知函数 $f (x) = l n (x + 1)$ ， $g (x) = k x$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，求函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ 的最大值；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq g (x)$ 恒成立，求实数 $k$ 的值．

查看试题解析
21. 对于一个 $n$ 行 $n$ 列的数表 $A_{n \times n} (n ≥ 2)$ ，用 $a_{i ， j}$ 表示数表中第 $i$ 行第 $j$ 列的数，其中 $a_{i ， j} \in Z$ $(i ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，且数表 $A_{n \times n}$ 满足以下两个条件：
① $\sum_{j = 1}^{n} a_{1 ， j} = n$ ；
② $a_{i + 1 ， j + 1} = a_{i ， j}$ ，规定 $a_{i + 1 ， n + 1} = a_{i + 1 ， 1}$ $(i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n - 1 ， j = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ．

(1)、已知数表 $A_{3 \times 3}$ 中， $a_{1 ， 1} = 3$ ， $a_{1 ， 2} = - 1$ ．写出 $a_{1 ， 3}$ ， $a_{2 ， 2}$ ， $a_{3 ， 1}$ 的值；

(2)、若 $a_{1 ， 1} + ⋯ + a_{1 ， k} - k = m a x {a_{1 ， 1} - 1 ， a_{1 ， 1} + a_{1 ， 2} - 2 ， ⋯ ， a_{1 ， 1} + ⋯ + a_{1 ， n} - n} (k \in {1 ， 2 ， ⋯ ， n})$ ，其中 $m a x M$ 表示数集 $M$ 中最大的数．规定 $a_{1 ， n + 1} = a_{1 ， 1}$ ．证明： $a_{1 ， k + 1} - 1 ≤ 0$ ；

(3)、证明：存在 $m \in {1 ， 2 ， ⋯ ， n}$ ，对于任意 $l \in {1 ， 2 ， ⋯ ， n}$ ，有 $a_{m ， 1} + a_{m ， 2} + ⋯ + a_{m ， l} ≤ l$ ．

查看试题解析