北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期中练习数学试题（A）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x < 3}$ ，则（）

A、 $2 \in A$ B、 $3 \in A$ C、 $0 \notin A$ D、 $\emptyset \in A$

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2. 命题“ $\forall x \geq 2 ， x^{2} \geq 4$ ”的否定为（）

A、“ $\forall x \leq 2 ， x^{2} \geq 4$ ” B、“ $\forall x \geq 2 ， x^{2} < 4$ ” C、“ $\exists x < 2 ， x^{2} < 4$ ” D、“ $\exists x \geq 2 ， x^{2} < 4$ ”

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3. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = - | x |$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = - \frac{1}{x}$

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4. 下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a - 1 < b - 2$ C、若 $\frac{a}{c^{2}} > \frac{b}{c^{2}}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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5. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (4)$ 等于（）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $4$

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6. 设 $x \in R$ ，则“ $2 - x \geq 0$ ”是“ $| x + 1 | \leq 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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8. 若指数函数 $f (x) = a^{x}$ 的图像与射线 $3 x - y + 5 = 0$ （ $x ⩾ - 1$ ）相交，则（）

A、 $a \in (0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $a \in [\frac{1}{2} ， 1)$ C、 $a \in [\frac{1}{2} ， 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $a \in (0 ， \frac{1}{2}] \cup (1 ， + \infty)$

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9. 如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）

A、 $y = | x | \sqrt{4 - x^{2}}$ B、 $y = x \sqrt{4 - x^{2}}$ C、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 | x |}$ D、 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x}$

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10. 设集合A的最大元素为 $M$ ，最小元素为m ，记A的特征值为 $X_{A} = M - m$ ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $⋯$ ， $A_{n}$ 是集合 $N^{*}$ 的元素个数均不相同的非空真子集，且 $X_{A_{1}} + X_{A_{2}} + X_{A_{3}} + \cdot \cdot \cdot + X_{A_{n}} = 62$ ，则 $n$ 的最大值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x - 1}$ 的定义域为.

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12. 求值： $4^{- \frac{1}{2}} - {(\frac{27}{8})}^{\frac{1}{3}} - {(π - 3)}^{0} =$ ．

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13. 当 $x > 3$ 时，则 $y = x + \frac{4}{x - 3}$ 的最小值为，当 $y$ 取得最小值时 $x$ 的值为．

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14. 写出一个使得命题“ $\forall x \in R ， a x^{2} - 2 a x + 3 > 0$ 恒成立”是假命题的实数 $a$ 的值．（写出一个 $a$ 的值即可）

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15. 函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $\forall x \in R$ ，都有 $f (- x) = \frac{1}{f (x)}$ ，给出下列四个结论：
① $f (0) = 1$ 或 $- 1$ ；
② $f (x)$ 一定不是偶函数；
③若 $f (x) > 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，则 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；
④若 $f (x)$ 有最大值，则 $f (x)$ 一定有最小值．
其中，所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 4} ， B = {x | m - 1 < x < 2 m - 3}$ .

(1)、若 $m = 4$ ，求 $∁_{R} A ， A \cap B ， A \cup B$ ；

(2)、若 $B ⊆ A$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (- \frac{1}{2}))$ 的值；

(2)、画出函数 $f (x)$ 的图象，根据图象写出函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f (x) \leq 8$ ，求 $x$ 的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上的单调性，并用单调性定义证明；

(3)、已知函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x) ， x > 0 ， \\ 5 ， x = 0 ， \\ - f (x) ， x < 0 ， \end{array}$ 当 $x \in [- \frac{1}{4} ， t]$ 时， $g (x)$ 的值域为 $[5 ， + \infty)$ ，求实数 $t$ 的取值范围.（只需写出答案）

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19. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - (3 a + 1) x + 3$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | 1 < x < k}$ ，求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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20. 因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前 $n (n \in N_{+})$ 年的材料费、维修费、人工工资等共为（ $\frac{5}{2} n^{2} + 5 n$ ）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前 $n$ 年的总盈利额为 $f (n)$ 万元.

(1)、写出 $f (n)$ 关于 $n$ 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

(2)、使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.

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21. 对于函数 $f (x)$ ，若 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的“不动点”；若 $f [f (x_{0})] = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的“稳定点”．函数 $f (x)$ 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 $A$ 和 $B$ ，即 $A = {x | f (x) = x}$ ， $B = {x | f [f (x)] = x}$ ．

(1)、设函数 $f (x) = 3 x + 4$ ，求集合 $A$ 和 $B$ ；

(2)、求证： $A ⊆ B$ ；

(3)、设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，且 $A = \emptyset$ ，求证： $B = \emptyset$ ．

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