北京市丰台区2023-2024学年高一上学期期中练习数学试题（B）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | x < 3}$ ，则（）

A、 $0 \notin A$ B、 $2 \in A$ C、 $3 \in A$ D、 $\emptyset \in A$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $2 x > 5$ ，则命题 $p$ 的否定为（）

A、 $\forall x \notin R$ ， $2 x > 5$ B、 $\forall x \in R$ ， $2 x \leq 5$ C、 $\exists x \in R$ ， $2 x \leq 5$ D、 $\exists x \in R$ ， $2 x > 5$

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3. 已知 $a > b$ ，则下列不等式中成立的是（）

A、 $2^{a} > 2^{b}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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4. 下列四个函数中，与 $y = x$ 表示同一函数的是（）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $y = \sqrt{x^{2}}$ C、 $y = \sqrt[3]{x^{3}}$ D、 $y = \frac{x^{2}}{x}$

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5. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x > 3$ ”是“ $| x - 1 | > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分䀠不必要条件

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6. 下列图象中，表示定义域和值域均为 $[0 ， 1]$ 的函数是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = 3^{x}$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = x^{2}$

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则 $f (- \frac{1}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{4}$

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9. 已知函数 $y = f (x)$ 的对应关系如下表所示，函数 $y = g (x)$ 的图象是如图所示的曲线ABC ，则 $f [g (2)]$ 的值为（）
x
1
2
3
$f (x)$
2
3
0

A、3 B、0 C、1 D、2

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10. 定义集合 $M ， N$ 的新运算如下： $M ⊙ N = {x | x \in M 或 x \in N ，且 x \notin M \cap N}$ ，若集合 $M = {0 ， 2 ， 4 ， 6 ， 8 ， 10}$ ， $N = {0 ， 3 ， 6 ， 9 ， 12 ， 15}$ ，则 $(M ⊙ N) ⊙ M$ 等于（）

A、 $M$ B、 $N$ C、 ${2 ， 3 ， 4 ， 8 ， 9 ， 10 ， 15}$ D、 ${0 ， 6 ， 12}$

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二、填空题

11. 函数f（x）= $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 的定义域为．

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12. 计算 $4 \times 2^{- 1} - (- 4)^{0} + 2 7^{\frac{1}{3}} =$

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13. 设 $x > 0$ ，则函数 $y = 2 + \frac{4}{x} + x$ 的最小值为；此时 $x$ 的值是.

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14. 比较两个值的大小： $1 . 2^{0.5}$ $0 . 5^{1.2}$ （请用“>”，“=”“<”填空）

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15. 几位同学在研究函数 $f (x) = \frac{| x | + 2}{x^{2} - 4}$ 时给出了下列四个结论：
① $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；
② $f (x)$ 在 $(2 ， + ∞)$ 上单调递减；
③ $f (x)$ 的值域为 $R$ ；
④当 $x \in (- 2 ， 2)$ 时， $f (x)$ 有最大值；
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 已知全集 $U = {x \in N | x \leq 5}$ ，其子集 $A = {1 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 5}$ ，求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $(∁_{U} A) ∪ (∁_{U} B)$

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17. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - a x - b$ .

(1)、当 $a = 1 且 b = 6$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若 $f (x) < 0$ 的解集是 ${x | - 1 < x < 2}$ ，解关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 3 b x + 5 a \geq 0$

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18. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， x \leq 0 \\ 2^{x} ， x > 0 \end{array}$ .

(1)、求 $f (f (- 2))$ 的值；

(2)、画出函数 $y = f (x)$ 的图象，根据图象写出函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $f (x) \leq 2$ ，求 $x$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ .

(1)、判断并证明函数 $y = f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 在区间 $(2 ， + \infty)$ 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的结论.

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20. 已知二次函数 $f (x)$ 的最小值为1，且 $f (0) = f (2) = 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[2 a ， 2 a + 1]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [- \frac{1}{2} ， 2]$ 时， $f (x) > 4 m x + 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为 $x$ 米，两个养殖池的总面积为 $y$ 平方米，如图所示：

(1)、将 $y$ 表示为 $x$ 的函数，并写出定义域；

(2)、当 $x$ 取何值时， $y$ 取最大值？最大值是多少？

(3)、若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度 $x$ 的取值范围.

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x	1	2	3
$f (x)$	2	3	0