北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题（A）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 直线 $x + y = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $135 °$

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2. 已知圆 $C ： (x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ，则圆心 $C$ 与半径 $r$ 分别为（）

A、 $C (1 ， - 1)$ ， $r = 4$ B、 $C (- 1 ， 1)$ ， $r = 4$ C、 $C (1 ， - 1)$ ， $r = 2$ D、 $C (- 1 ， 1)$ ， $r = 2$

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3. 如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则与向量 $\vec{D_{1} B}$ 相等的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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4. 已知直线 $l$ 经过点 $M (2 ， 1)$ ，且与直线 $x - 2 y + 1 = 0$ 垂直，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y - 4 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $2 x - y - 3 = 0$ D、 $x - 2 y = 0$

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5. 若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{u}$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，则下列选项中能使 $l ⊥ α$ 成立的是（）

A、 $\vec{u} = (2 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{n} = (- 1 ， 1 ， 1)$ B、 $\vec{u} = (1 ， - 2 ， 0)$ ， $\vec{n} = (- 2 ， 4 ， 0)$ C、 $\vec{u} = (1 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{n} = (1 ， 0 ， 1)$ D、 $\vec{u} = (1 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{n} = (0 ， 3 ， 1)$

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6. 已知直线 $l_{1} ： a x + (a + 2) y + 1 = 0$ ， $l_{2} ： x + a y - 2 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $2$ C、 $- 1$ 或 $2$ D、 $- 2$ 或 $0$

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7. 若直线 $l ： y = k x + 3$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A ， B$ 两点，且 $∠ A O B = \frac{π}{3}$ （其中 $O$ 为原点），则 $k$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ 或 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{2}$

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8. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - m x + 3 y + 3 = 0$ 关于直线 $l ： m x + y - m = 0$ 对称，则实数 $m =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、 $3$ D、 $- 1$ 或 $3$

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9. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体 $A B C D E F$ 的棱长为2， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A D$ ， $A C$ 的中点，则直线 $B N$ 和 $F M$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{11}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{6}$

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10. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： (x - 4)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ ，过动点 $M (a ， b)$ 分别作圆 $C_{1}$ ，圆 $C_{2}$ 的切线 $M A$ ， $M B$ （ $A$ ， $B$ 分别为切点），若 $| M A | = | M B |$ ，则 $\sqrt{(a - 3)^{2} + (b + 2)^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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二、填空题

11. 已知直线 $l$ 的斜率为 $2$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $- 1$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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12. 已知 $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ ， $\vec{k}$ 为空间两两垂直的单位向量，且 $\vec{a} = \vec{i} + 2 \vec{j} - \vec{k}$ ， $\vec{b} = 3 \vec{i} - \vec{j} + 4 \vec{k}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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13. 已知 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (0 ， n)$ 三点共线，则 $n =$ .

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14. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 n x + 2 n y + 2 n^{2} - 8 = 0$ 上存在两个点到点 $A (- 1 ， 1)$ 的距离均为 $\sqrt{2}$ ，则实数 $n$ 的一个取值为.

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15. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ， $P$ 是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上运动，则总有 $C P ⊥ B D$ ；
②若点 $P$ 在线段 $A D_{1}$ 上运动，则三棱锥 $B - D P C_{1}$ 体积为定值；
③若点 $P$ 在线段 $A_{1} B$ 上运动，则直线 $C P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角为定值；
④若点 $P$ 满足 $\vec{C P} = \vec{C D} + λ \vec{C C_{1}}$ $(0 \leq λ \leq 1)$ ，则过点 $A_{1}$ ， $P$ ， $C$ 三点的正方体截面面积的取值范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{2} ， \sqrt{2}]$ .
其中所有正确结论的序号为.

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三、问答题

16. 已知圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 4$ .

(1)、求经过点 $(3 ， - 2)$ 的圆 $C$ 的切线方程；

(2)、求直线 $l ： 2 x - y + 2 = 0$ 被圆 $C$ 截得的弦长.

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17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A C = B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $C_{1} D ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $A_{1} B E$ 所成角的正弦值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ ， $A B = 1$ ， $P B = 2$ ， $P D ⊥ C D$ ， $P B ⊥ B D$ ， $N$ 为棱 $P C$ 的中点.

条件①： $B C = 2$ ；
条件②：平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ .
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：

(1)、求证： $A B ⊥$ $P B$ ；

(2)、若点 $M$ 在线段 $A N$ 上，且点 $M$ 到平面 $B D N$ 的距离为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求线段 $C M$ 的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

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19. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 的圆心在直线 $l ： y = x - 1$ 上，且半径为 $1$ .

(1)、若圆心 $C$ 也在直线 $y = - 2 x + 8$ 上，求圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $N (0 ， 3)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $| M N | = | M O |$ ，求圆心 $C$ 的横坐标的取值范围.

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20. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是边长为 $3$ 的正方形，平面 $C D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F / / D E$ ， $D E ⊥ C D$ ， $D E = 3 A F = 3 \sqrt{6}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值；

(3)、线段 $C E$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $A P / /$ 平面 $B E F$ ？若存在，指出点 $P$ 的位置并证明；若不存在，请说明理由.

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21. 在平面直角坐标系中，对于点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，定义 $ρ (A ， B) = | x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ 为点 $A$ 到点 $B$ 的“折线距离”.

(1)、已知 $A (1 ， 2)$ ， $B (3 ， 0)$ ，求 $ρ (A ， B)$ ；

(2)、已知直线 $l ： \sqrt{3} x + y - 4 = 0$ .
（i）求坐标原点 $O$ 与直线 $l$ 上一点的“折线距离”的最小值；
（ii）求圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点与直线 $l$ 上一点的“折线距离”的最小值.

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