北京市朝阳区2024届高三上学期数学期中数学试题

试卷更新日期:2023-11-07 类型:期中考试

一、单选题

  • 1. 已知集合A={x|2x3}B={x|x>0} , 则AB=( )
    A、[23] B、[03] C、(0+) D、[2+)
  • 2. 下列函数中,是奇函数且在其定义域上为增函数的是(    )
    A、y=sinx B、y=x|x| C、y=tanx D、y=x1x
  • 3. 已知a=lg5b=sinπ7c=213 , 则(    )
    A、a<b<c B、b<a<c C、b<c<a D、a<c<b
  • 4. 已知直线 mn 与平面 αβγ 满足 αβαβ=mnαnγ ,则下列判断一定正确的

    是(    )

    A、m//γαγ B、n//βαγ C、β//γαγ D、mnαγ
  • 5. 已知偶函数f(x)在区间[0+)上单调递减.若f(lgx)>f(1) , 则x的取值范围是(       )
    A、(1101) B、(0110)(1+) C、(11010) D、(0110)(10+)
  • 6. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明,极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则 ADAE= (    )

    A、16 B、15 C、12 D、9
  • 7. 已知数列{an}的前n项和为Sn , 则“{an}是等差数列”是“ {Snn} 是等差数列”的(  )
    A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
  • 8. 如图,在直角梯形 ABCD 中, AD//BCABBCAD=1BC=2P 是线段 AB 上的动点,则 |PC+4PD| 的最小值为(    )

    A、35 B、6 C、25 D、4
  • 9. “木桶效应”是一个有名的心理效应,是指木桶盛水量的多少,取决于构成木桶的最短木板的长度,而不取决于构成木桶的长木板的长度,常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为,如果将该木桶斜放,发挥长板的作用,在短板存在的情况下,也能盛较多的水.根据该同学的说法,若有一个如图①所示的圆柱形木桶,其中一块木板有缺口,缺口最低处与桶口距离为2,若按照图②的方式盛水,形成了一个椭圆水面,水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平,且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为(    )

        

    A、2π B、3π C、4π D、6π
  • 10. 数列{an}的通项公式为an=n23nnN , 前n项和为Sn , 给出下列三个结论:

    ①存在正整数mn(mn) , 使得Sm=Sn

    ②存在正整数mn(mn) , 使得am+an=2aman

    ③记Tn=a1a2an(n=123) , 则数列{Tn}有最小项;

    其中所有正确结论的个数是(   )

    A、0 B、1 C、2 D、3

二、填空题

  • 11. 已知向量a=(23)b=(6m) , 若ab , 则m=;若ab , 则m=.
  • 12. 已知角a的终边与单位圆交于点P在第二象限,且点P的横坐标为35 , 则sin2a=.
  • 13. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式:C=Wlog2(1+SN) , 其中C为最大数据传输速率,单位为bit/sW为信道带宽,单位为HzSN为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用,当SN=80W=200Hz时,最大数据传输速率记为C1;当SN=728W=300Hz时,最大数据传输速率记为C2 , 则C2C1.
  • 14. 已知f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移a(a>0)个单位后得到g(x)的图象,则函数f(x)在区间[0π2]上的最小值为;若f(x)+g(x)值域为{0} , 则满足条件的一个a可以为.
  • 15. 已知函数f(x)={|ax1|x1(a2)(x1)x>1 , 其中a>0a1 . 给出下列四个结论:

    ①若a2 , 则函数f(x)的零点是0

    ②若函数f(x)无最小值,则a的取值范围为(01)

    ③若a>2 , 则f(x)在区间(0)上单调递减,在区间(0+)上单调递增;

    ④若关于x的方程f(x)=a2恰有三个不相等的实数根x1x2x3 , 则a的取值范围为(23) , 且x1+x2+x3的取值范围为(2)

    其中,所有正确结论的序号是

三、解答题

  • 16. 已知等差数列{an}满足an+1+an=4n+2
    (1)、求数列{an}的通项公式;
    (2)、若数列{bnan}是公比为3的等比数列,且b1=3 , 求数列{bn}的前n项和Sn
  • 17. 在ABC中,角ABC的对边分别为abc , 且acosB=2abcosA.
    (1)、求sinCsinA的值;
    (2)、若b=3 , 从下列三个条件中选出一个条件作为已知,使得ABC存在且唯一确定,求ABC的面积.

    条件①:cosB=1116;条件②:sinC=154;条件③:ABC的周长为9.

  • 18. 如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCDADCDADBCPA=AD=CD=2BC=3.EPD的中点,点FPC上,且PFFC=12.

    (1)、证明:平面AEF平面PCD
    (2)、求平面AEF与平面AEP所成角的余弦值;
    (3)、问:棱BP上是否存在一点G , 使点G到平面AEP的距离为439 , 若存在,求出PGGB的值,若不存在,说明理由.
  • 19. 已知函数f(x)=ln(2x+1)aex+(a2)xaR
    (1)、当a=0时,求f(x)的最大值;
    (2)、若f(x)0 , 求a的取值范围.
  • 20. 已知函数f(x)=ex+asinx1(aR).
    (1)、求曲线y=f(x)在点(0f(0))处的切线方程;
    (2)、若函数f(x)x=0处取得极小值,求a的值,并说明理由.
    (3)、若存在正实数m , 使得对任意的x(0m) , 都有f(x)<0 , 求a的取值范围.
  • 21. 设λ为整数.有穷数列{an}的各项均为正整数,其项数为mm2).若{an}满足如下两个性质,则称{an}Pλ数列:①am=1 , 且ai1(i=12m1);②an+1={|λan+1|an  an2an  (n=12m1)
    (1)、若{an}P1数列,且a1=5 , 求m
    (2)、若{an}P1数列,求a1的所有可能值;
    (3)、若对任意的P1数列{an} , 均有m2log2a1+d , 求d的最小值.