北京市朝阳区2024届高三上学期数学期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2 ， 3]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $(0 ， + ∞)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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2. 下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = x | x |$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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3. 已知 $a = l g 5 ， b = s i n \frac{π}{7} ， c = 2^{\frac{1}{3}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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4. 已知直线 $m ， n$ 与平面 $α ， β ， γ$ 满足 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = m$ ， $n ⊥ α$ ， $n \subset γ$ ，则下列判断一定正确的
是（）

A、 $m / / γ ， α ⊥ γ$ B、 $n / / β ， α ⊥ γ$ C、 $β / / γ ， α ⊥ γ$ D、 $m ⊥ n ， α ⊥ γ$

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5. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， + ∞)$ 上单调递减．若 $f (l g x) > f (1)$ ，则x的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{10} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{1}{10}) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{10} ， 10)$ D、 $(0 ， \frac{1}{10}) ∪ (10 ， + ∞)$

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6. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、16 B、15 C、12 D、9

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7. 已知数列{a_n}的前n项和为S_n ，则“{a_n}是等差数列”是“ ${\frac{S_{n}}{n}}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = 1$ ， $B C = 2$ ， $P$ 是线段 $A B$ 上的动点，则 $| \vec{P C} + 4 \vec{P D} |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、6 C、 $2 \sqrt{5}$ D、4

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9. “木桶效应”是一个有名的心理效应，是指木桶盛水量的多少，取决于构成木桶的最短木板的长度，而不取决于构成木桶的长木板的长度，常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为，如果将该木桶斜放，发挥长板的作用，在短板存在的情况下，也能盛较多的水.根据该同学的说法，若有一个如图①所示的圆柱形木桶，其中一块木板有缺口，缺口最低处与桶口距离为2，若按照图②的方式盛水，形成了一个椭圆水面，水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平，且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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10. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{2} - 3 n ， n \in N^{*}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，给出下列三个结论：
①存在正整数 $m ， n (m \neq n)$ ，使得 $S_{m} = S_{n}$ ；
②存在正整数 $m ， n (m \neq n)$ ，使得 $a_{m} + a_{n} = 2 \sqrt{a_{m} a_{n}}$ ；
③记 $T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} (n = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ ，则数列 ${T_{n}}$ 有最小项；
其中所有正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 3) ， \vec{b} = (6 ， m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ；若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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12. 已知角 $a$ 的终边与单位圆交于点 $P$ 在第二象限，且点 $P$ 的横坐标为 $- \frac{3}{5}$ ，则 $s i n 2 a =$ .

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13. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，其中 $C$ 为最大数据传输速率，单位为 $b i t / s$ ； $W$ 为信道带宽，单位为 $H z$ ； $\frac{S}{N}$ 为信噪比.香农公式在 $5 G$ 技术中发挥着举足轻重的作用，当 $\frac{S}{N} = 80 ， W = 200 H z$ 时，最大数据传输速率记为 $C_{1}$ ；当 $\frac{S}{N} = 728 ， W = 300 H z$ 时，最大数据传输速率记为 $C_{2}$ ，则 $\frac{C_{2}}{C_{1}}$ 为.

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14. 已知 $f (x) = s i n 2 x + c o s 2 x$ 的图象向右平移 $a (a > 0)$ 个单位后得到 $g (x)$ 的图象，则函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为；若 $f (x) + g (x)$ 值域为 ${0}$ ，则满足条件的一个 $a$ 可以为.

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | a^{x} - 1 | ， x \leq 1 \\ (a - 2) (x - 1) ， x > 1 \end{array}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．给出下列四个结论：
①若 $a \neq 2$ ，则函数 $f (x)$ 的零点是 $0$ ；
②若函数 $f (x)$ 无最小值，则 $a$ 的取值范围为 $(0 ， 1)$ ；
③若 $a > 2$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- ∞ ， 0)$ 上单调递减，在区间 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增；
④若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a - 2$ 恰有三个不相等的实数根 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $a$ 的取值范围为 $(2 ， 3)$ ，且 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围为 $(- \infty ， 2)$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 n + 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{1} = 3$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和Sn ，

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17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a c o s B = 2 a - b c o s A$ .

(1)、求 $\frac{s i n C}{s i n A}$ 的值；

(2)、若 $b = 3$ ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 $△ A B C$ 存在且唯一确定，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c o s B = \frac{11}{16}$ ；条件②： $s i n C = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ；条件③： $△ A B C$ 的周长为9.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D ， A D ⊥ C D ， A D ∥ B C ， P A = A D = C D = 2 ， B C = 3$ . $E$ 为 $P D$ 的中点，点 $F$ 在 $P C$ 上，且 $\frac{P F}{F C} = \frac{1}{2}$ .

(1)、证明：平面 $A E F ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 与平面 $A E P$ 所成角的余弦值；

(3)、问：棱 $B P$ 上是否存在一点 $G$ ，使点 $G$ 到平面 $A E P$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ ，若存在，求出 $\frac{P G}{G B}$ 的值，若不存在，说明理由.

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19. 已知函数 $f (x) = l n (2 x + 1) - a e^{x} + (a - 2) x ， a \in R$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a s i n x - 1 (a \in R)$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处取得极小值，求 $a$ 的值，并说明理由.

(3)、若存在正实数 $m$ ，使得对任意的 $x \in (0 ， m)$ ，都有 $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 设 $λ$ 为整数．有穷数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正整数，其项数为m（ $m \geq 2$ ）．若 ${a_{n}}$ 满足如下两个性质，则称 ${a_{n}}$ 为 $P_{λ}$ 数列：① $a_{m} = 1$ ，且 $a_{i} \neq 1 (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， m - 1)$ ；② $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} | λ a_{n} + 1 | ， & a_{n} 为奇数， \\ \frac{a_{n}}{2} ， & a_{n} 为偶数 \end{array} (n = 1 ， 2 ， ⋯ ， m - 1)$

(1)、若 ${a_{n}}$ 为 $P_{1}$ 数列，且 $a_{1} = 5$ ，求m；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为 $P_{- 1}$ 数列，求 $a_{1}$ 的所有可能值；

(3)、若对任意的 $P_{1}$ 数列 ${a_{n}}$ ，均有 $m \leq 2 l o g_{2} a_{1} + d$ ，求d的最小值．

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