北京市朝阳区2024届高三上学期数学期中数学试题
试卷更新日期:2023-11-07 类型:期中考试
一、单选题
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1. 已知集合 , , 则( )A、 B、 C、 D、2. 下列函数中,是奇函数且在其定义域上为增函数的是( )A、 B、 C、 D、3. 已知 , 则( )A、 B、 C、 D、4. 已知直线 与平面 满足 , , , ,则下列判断一定正确的
是( )
A、 B、 C、 D、5. 已知偶函数在区间上单调递减.若 , 则x的取值范围是( )A、 B、 C、 D、6. 我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明,极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则 ( )A、16 B、15 C、12 D、97. 已知数列{an}的前n项和为Sn , 则“{an}是等差数列”是“ 是等差数列”的( )A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件8. 如图,在直角梯形 中, , , , , 是线段 上的动点,则 的最小值为( )A、 B、6 C、 D、49. “木桶效应”是一个有名的心理效应,是指木桶盛水量的多少,取决于构成木桶的最短木板的长度,而不取决于构成木桶的长木板的长度,常被用来寓意一个短处对于一个团队或者一个人的影响程度.某同学认为,如果将该木桶斜放,发挥长板的作用,在短板存在的情况下,也能盛较多的水.根据该同学的说法,若有一个如图①所示的圆柱形木桶,其中一块木板有缺口,缺口最低处与桶口距离为2,若按照图②的方式盛水,形成了一个椭圆水面,水面刚好与左边缺口最低处M和右侧桶口N齐平,且MN为该椭圆水面的长轴.则此时比图①盛水方式多盛的水的体积为( )A、 B、 C、 D、10. 数列的通项公式为 , 前项和为 , 给出下列三个结论:①存在正整数 , 使得;
②存在正整数 , 使得;
③记 , 则数列有最小项;
其中所有正确结论的个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3二、填空题
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11. 已知向量 , 若 , 则;若 , 则.12. 已知角的终边与单位圆交于点在第二象限,且点的横坐标为 , 则.13. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式: , 其中为最大数据传输速率,单位为;为信道带宽,单位为;为信噪比.香农公式在技术中发挥着举足轻重的作用,当时,最大数据传输速率记为;当时,最大数据传输速率记为 , 则为.14. 已知的图象向右平移个单位后得到的图象,则函数在区间上的最小值为;若值域为 , 则满足条件的一个可以为.15. 已知函数 , 其中且 . 给出下列四个结论:
①若 , 则函数的零点是;
②若函数无最小值,则的取值范围为;
③若 , 则在区间上单调递减,在区间上单调递增;
④若关于的方程恰有三个不相等的实数根 , 则的取值范围为 , 且的取值范围为 .
其中,所有正确结论的序号是 .
三、解答题
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16. 已知等差数列满足 .(1)、求数列的通项公式;(2)、若数列是公比为3的等比数列,且 , 求数列的前n项和Sn ,17. 在中,角的对边分别为 , 且.(1)、求的值;(2)、若 , 从下列三个条件中选出一个条件作为已知,使得存在且唯一确定,求的面积.
条件①:;条件②:;条件③:的周长为9.
18. 如图,在四棱锥中,平面.为的中点,点在上,且.(1)、证明:平面平面;(2)、求平面与平面所成角的余弦值;(3)、问:棱上是否存在一点 , 使点到平面的距离为 , 若存在,求出的值,若不存在,说明理由.