黑龙江省齐齐哈尔市普高联谊校2023-2024学年高一上学期10月期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x < 1} ， B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0}$

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2. 命题“ $\forall x \in R, | x | + x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, | x | + x^{2} < 0$ B、 $\forall x \in R, | x | + x^{2} \leq 0$ C、 $\exists x \in R, | x | + x^{2} < 0$ D、 $\exists x \in R, | x | + x^{2} \geq 0$

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3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = 2 x$ 与 $g (x) = \sqrt{4 x^{2}}$ B、 $f (x) = \frac{| x |}{x}$ 与 $g (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ C、 $y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 与 $m = n + 1$ D、 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$

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4. 已知 $a$ 、 $b \in R$ ，且 $a > b$ ，则（）

A、 $- a < - b$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $| a | > | b |$

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5. 若函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{m x^{2} + 2 m x + 4}}$ 的定义域为 $R$ ，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $[0 ， 4]$ C、 $[0 ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0] ∪ (4 ， + \infty)$

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6. “关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 a x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ”的一个充分不必要条件是（）

A、 $0 \leq a < 1$ B、 $0 \leq a \leq 1$ C、 $0 < a < 1$ D、 $0 < a < 3$

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7. 某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中同时参加数、理、化三科竞赛的有7名，没有参加任何竞赛的学生共有10名，若该班学生共有51名，则只参与两科竞赛的同学有（）人

A、19 B、18 C、9 D、29

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8. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 ， 2 b]$ 上的偶函数，且在 $[- 2 b ， 0]$ 上单调递增，则 $f (x + 1) \leq f (- 1)$ 的解集为（）

A、 $[- 2 ， 0]$ B、 $[- 3 ， 1]$ C、 $[- 3 ， - 2] ∪ [0 ， 1]$ D、 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若集合 $A = {x | 0 < x < 2}$ ，且 $A ∩ B = B$ ，则集合 $B$ 可能是（）

A、 $\emptyset$ B、 ${1}$ C、 $[0 ， 2]$ D、 $(0 ， 2)$

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10. 在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率 $π$ 准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率 $π$ 小数点后第n位上的数字为y，下列结论正确的是（）

A、y不是n的函数 B、y是n的函数，且该函数定义域为 $N^{*}$ C、y是n的函数，且该函数值域为 ${0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9}$ D、y是n的函数，且该函数在定义域内不单调

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11. 已知 $a ， b \in R$ ，且 $a b > 0$ ，则下列不等式中，恒成立的是（）

A、 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b}$ B、 $2 (a^{2} + b^{2}) \geq {(a + b)}^{2}$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ D、 $(a + \frac{1}{a}) (b + \frac{1}{b}) \geq 4$

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12. 已知 $M$ 是同时满足下列条件的集合：① $0 \in M ， 1 \in M$ ；②若 $x ， y \in M$ ，则 $x - y \in M$ ；③ $x \in M$ 且 $x \neq 0$ ，则 $\frac{1}{x} \in M$ ．下列结论中正确的有（）

A、 $\frac{1}{3} \in M$ B、 $- 1 \notin M$ C、若 $x ， y \in M$ ，则 $x + y \in M$ D、若 $x \in M$ ，则 $x^{2} \in M$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (x - 1) = \frac{x}{x - 1}$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{\frac{1}{m}}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数 $m$ 的值为．

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15. 已知正实数 $m$ ， $n$ 满足 $\frac{1}{m} + \frac{8}{n} = 4$ ，则 $8 m + n$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a + | x - 2 | ， x \leq 1 \\ x^{2} - 2 a x + 2 a ， x > 1 \end{array}$ 且 $f (x) \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数a的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知全集 $U = {x | - 5 \leq x \leq 5}$ ， $A = {x | 0 < x \leq 3}$ ， $B = {x | - 2 \leq x \leq 1}$ ，求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $B ∪ (∁_{U} A)$ .

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18. 设集合 $U = R ， A = {x | 0 \leq x \leq 3} ， B = {x | m - 1 \leq x \leq m + 1}$ .

(1)、若 $m = 3$ ，求 $A ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若“ $x ∈ B$ ”是“ $x ∈ A$ ”的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (2 x - 1) + f (x + 1) \leq 0$ .

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20. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ ．

(1)、若 $f (0) = f (2)$ ，求 $m$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 在区间 $[- 2 ， 2]$ 上的最小值．

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21. 如图所示，将一矩形花坛 $A B C D$ 扩建成一个更大的矩形花坛 $A M P N$ ，要求 $B$ 点在 $A M$ 上， $D$ 点在 $A N$ 上，且对角线 $M N$ 过 $C$ 点，已知 $A B = 3$ 米， $A D = 2$ 米.

(1)、设 $D N$ 的长为 $x (x > 0)$ 米，试用 $x$ 表示矩形 $A M P N$ 的面积；

(2)、当 $D N$ 的长度是多少时，矩形花坛 $A M P N$ 的面积最小?并求出最小值.

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22. 若函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$ .

(1)、讨论 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $a = 1$ 时，总 $\exists x \in [\frac{1}{3} ， 1]$ ，对 $\forall m \in [1 ， 4]$ ，使得 $f (\frac{1}{x}) + \frac{3 - 2 m}{x} \leq b^{2} - 2 b - 2$ 恒成立，求实数b的取值范围.

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