黑龙江省齐齐哈尔市五校联考2023-2024学年高一上学期10月期中考试数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {1 ， 2 ， 4 ， 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ B、 ${0 ， 1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 8}$

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2. 已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ ，则 $f (- 2022) + f (2022)$ 的值是（）

A、－2022 B、0 C、1 D、2022

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3. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 3}$ 的定义域为（）

A、（1，＋∞） B、[1，＋∞） C、（1， $\sqrt{3}$ ） D、 $[1 ， \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3} ， + ∞)$

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4. 设 $x ∈ R$ ，则“ $x < 3$ ”是“ $x (x - 2) < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + 2$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、3

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6. 设偶函数 $f (x)$ 的定义域为R，当x $\in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x)$ 是增函数，则 $f (- \sqrt{7})$ ， $f (π)$ ， $f (- 3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (π) > f (- 3) > f (- \sqrt{7})$ B、 $f (π) > f (- \sqrt{7}) > f (- 3)$ C、 $f (π) < f (- 3) < f (- \sqrt{7})$ D、 $f (π) < f (- \sqrt{7}) < f (- 3)$

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7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量
水价
不超过 $15 m^{3}$ 的部分
2.07元 $/ m^{3}$
超过 $15 m^{3}$ 但不超过 $22 m^{3}$ 的部分
4.07元 $/ m^{3}$
超过 $22 m^{3}$ 的部分
6.07元 $/ m^{3}$
若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（）

A、 $27 m^{3}$ B、 $28 m^{3}$ C、 $29 m^{3}$ D、 $30 m^{3}$

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8. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (- a - 5) x - 2 ， x \geq 2 \\ x^{2} + 2 (a - 1) x - 3 a ， x < 2 \end{array}$ ，若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ （ $x_{1} \neq x_{2}$ ），都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， - 1]$ B、 $[- 4 ， - 2]$ C、 $(- 5 ， - 1]$ D、 $[- 5 ， - 4]$

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二、多选题

9. 已知 $a > b$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{2} > a b$ B、 $b^{2} > a b$ C、 $\frac{a + b}{2} > b$ D、 $a^{2} (a - b) > b^{2} (b - a)$

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10. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，则下列函数必为偶函数的有（）

A、 $y = f (| x |)$ B、 $y = f (x^{2})$ C、 $y = - f (- x)$ D、 $y = f (x) + f (- x)$

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11. 若函数 $f (x) = \sqrt{a x^{2} + x + 1}$ 的值域为 $[0 ， + \infty)$ ，则 $a$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、0

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意实数 $x$ ， $y$ 满足： $f (x - y) = f (x) - f (y) + 1$ ．且 $f (1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) < 1$ ．则下列选项正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、 $f (2) = - 2$ C、 $f (x) - 1$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 为 $R$ 上的减函数

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三、填空题

13. 命题：“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \geq 0$ ”的否定是.

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 3 ， - 27)$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ ．

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15. 若“ $1 - m < x + m < 2 m$ ”是“ $0 < \frac{x + 1}{2} < 1$ ”的必要不充分条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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16. 已知 $k \geq 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x + 1 ， x \leq k \\ \frac{2}{x} ， x > k \end{array}$ 有最大值，则实数 $k$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知集合 $A = {x | x^{2} - a x + b = 0 ， a \in R ， b \in R}$ .

(1)、若 $A = {1}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若 $B = {x \in Z | - 3 < x < 0}$ ，且 $A = B$ ，求 $a$ ， $b$ 的值.

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18.

(1)、比较 $A = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 14$ 和 $B = 2 a + 4 b + 6 c$ 的大小；

(2)、请判断“ $a > b$ ， $c > d$ ”是“ $a - d > b - c$ ”的什么条件?（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}} ， x \in (- 2 ， 2)$ ．

(1)、用定义法证明：函数f（x）在（0，2）上单调递增；

(2)、求不等式 $f (t) + f (1 - 2 t) > 0$ 的解集．

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20.

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - m x + n < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，求不等式 $n x^{2} + m x + 1 > 0$ 的解集；

(2)、已知两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$ ，并且 $x + 2 y \geq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - 2 a) x + \frac{1}{4} (a \in R)$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x - \frac{1}{2})$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最小值为 $- 2$ ?若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．

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22. 对于定义在D上的函数 $f (x)$ ，若存在实数m，n且m＜n，使得 $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上的最大值为 $\frac{2}{m}$ ，最小值为 $\frac{2}{n}$ ，则称 $[m ， n]$ 为 $f (x)$ 的一个“保值区间”．已知函数 $g (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \in (0 ， + ∞)$ ）时， $g (x) = - x + 3$ ．

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $g (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 内的“保值区间”；

(3)、若以函数 $g (x)$ 在定义域内所有“保值区间”上的图象作为函数 $y = h (x)$ 的图象，求函数 $y = h (x)$ 的值域．

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每户每月用水量	水价
不超过 $15 m^{3}$ 的部分	2.07元 $/ m^{3}$
超过 $15 m^{3}$ 但不超过 $22 m^{3}$ 的部分	4.07元 $/ m^{3}$
超过 $22 m^{3}$ 的部分	6.07元 $/ m^{3}$