吉林省四平市2023-2024学年高一上学期期中数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {0 ， 4 ， 8 ， 10 ， 12}$ ， $A = {4 ， 8 ， 12}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0 ， 10}$ B、 ${0 ， 4 ， 8}$ C、 ${0 ， 4 ， 8 ， 10}$ D、 ${0 ， 4 ， 8 ， 10 ， 12}$

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2. 已知命题p：“ $\exists x \in R$ ，使得 $3 x^{2} - 2 | x | + 5 = 0$ ”，则命题p的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ，使得 $3 x^{2} - 2 | x | + 5 \neq 0$ B、 $\exists x \notin R$ ，使得 $3 x^{2} - 2 | x | + 5 \neq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $3 x^{2} - 2 | x | + 5 \neq 0$ D、 $\forall x \notin R$ ， $3 x^{2} - 2 | x | + 5 \neq 0$

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3. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(- 3 ， - 27)$ ，则 $f (\frac{1}{2}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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4. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a < b$ ，则 $a c^{2} < b c^{2}$ C、若 $a b \neq 0$ ，且 $a < b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a + c > b + d$

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5. “ $m < - 17$ ”是“函数 $f (x) = - 3 x^{2} + 2 (1 - m) x - 5$ 在区间 $(- \infty ， 6]$ 上单调递增”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = 3 x^{2} - x + 2 a + 1$ ，若 $f (2) = 13$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 1$

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7. 已知 $2 \leq 2 x + 3 y \leq 6$ ， $- 3 \leq 5 x - 6 y \leq 9$ ，则 $z = 11 x + 3 y$ 的取值范围是（）

A、 ${z | \frac{5}{3} \leq z \leq \frac{89}{3}}$ B、 ${z | \frac{5}{3} \leq z \leq 27}$ C、 ${z | 3 \leq z \leq \frac{89}{3}}$ D、 ${z | 3 \leq z \leq 27}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，对任意的 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ 成立．若 $f (x^{2} - 3 x + a) > f (x - 2 a^{2} - 6 a)$ 对任意 $x ∈ R$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}) ∪ (4 ， + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ C、 $(- \infty ， - 4) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[- \frac{1}{2} ， 4]$

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二、多选题

9. 下列说法正确的是（）

A、 $2 \in {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ B、 ${2} \in {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${2 ， 4} \subseteq {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 $\emptyset \subseteq {1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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10. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + (2 a + 1) x + 4 > 0$ ，则命题 $p$ 成立的一个充分条件可以是（）

A、 ${a | - \frac{5}{2} < a < 1}$ B、 ${a | - 1 < a < 0}$ C、 ${a | - \frac{5}{2} \leq a < \frac{3}{2}}$ D、 ${a | - 2 < a < \frac{3}{2}}$

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11. 已知集合 $A = {x | 4 a x^{2} - 4 (a + 2) x + 9 = 0}$ 中只有一个元素，则实数a的可能取值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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12. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - 4 x + 5$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x) \geq (a - 4) x + 2$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是 $[0 ， 12]$ B、若 $f (x) \geq (a - 4) x + 2$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，则实数a的取值范围是 $(0 ， 12)$ C、若 $a = 4$ ， $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为 $[4 ， 5]$ ，则实数m的取值范围是 $[\frac{1}{2} ， 1]$ D、若 $a = 4$ ， $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， m]$ ，值域为 $[4 ， 5]$ ，则实数m的取值范围是 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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三、填空题

13. 用描述法表示下图中的阴影部分可以是．

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14. 函数 $f (x) = \frac{3}{2 x - 1} + \sqrt{- 4 x^{2} + 5 x - 1}$ 的定义域为.

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15. 已知实数 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $2 a + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + b$ 的最小值为．

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16. 已知关于 $x$ 的不等式 $3 x^{2} + (10 - 2 a) x - 6 a + 3 < 0$ 的解集中恰有5个整数解，则实数 $a$ 的范围是.

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四、解答题

17. 设集合 $U = {x ∣ x \leq 5} ， A = {x ∣ 1 \leq x \leq 2} ， B = {x ∣ - 1 \leq x \leq 4}$ ．求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $∁_{U} (A ∪ B)$ ；

(3)、 $(∁_{U} A) ∩ (∁_{U} B)$

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18. 已知集合 $A = {x | - 1 < x < m}$ ，命题p： $\exists x \in {x | - 1 \leq x \leq 0}$ ， $x = a$ ．

(1)、若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若命题p为真命题时，a的取值构成集合B ，且 $A ⊆ B$ ，求实数m的取值范围．

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19.

(1)、已知 $x > \frac{2}{3}$ ，求 $x + \frac{2}{3 x - 2}$ 的最小值﹔

(2)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ ，求 $3 x + y$ 的最小值.

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20. 如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.

(1)、若每个长方形区域的面积为 $24 m^{2}$ ，要使围成四个区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；

(2)、若每个长方形区域的长为 $x$ m（ $x > 2$ ），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长 $x$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{2}{x}$ ，且 $f (- 2) = 1$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减；

(2)、若 $f (x) \leq \frac{t - 1}{2 t + 1}$ 对 $\forall x \in [1 ， + \infty)$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{2} - 2 a x + a + 1$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [t ， t + 2]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值．

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