江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期11月期中摸底数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若一条直线经过两点 $(- 1 ， 3)$ 和 $(\sqrt{3} ， - \sqrt{3})$ ，则该直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. “ $m = 4$ ”是“直线 $(2 m - 4) x + (m + 1) y + 2 = 0$ 与直线 $(m + 1) x - m y + 3 = 0$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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3. $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和，若 $S_{6} = 3 a_{1}$ ， $a_{1} > 0$ ，则使 $S_{n} > a_{n}$ 的 $n$ 的最大值为（）

A、 $2$ B、 $12$ C、 $11$ D、 $10$

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4. 直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 与圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 的位置关系是（）

A、相交但直线不过圆心 B、相切 C、相离 D、相交且直线过圆心

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5. 已知椭圆： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，若 $| \overset{⇀}{B F_{2}} | + | \overset{⇀}{A F_{2}} |$ 的最大值为5，则 $b$ 的值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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6. 直线 $l$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 于 $A 、 B$ 两点，若 $M (2 ， 1)$ 是线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $2 x - y - 3 = 0$ B、 $2 x + y - 5 = 0$ C、 $x + 2 y - 4 = 0$ D、 $x - 2 y + 3 = 0$

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7. 以下四个命题表述错误的是（）

A、圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 上有且仅有 $3$ 个点到直线 $l ： x - y + 1 = 0$ 的距离都等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ ，恰有四条公切线，则实数 $m$ 的取值范围为 $m > 4$ C、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 2$ ， $P$ 为直线 $x + y + 2 \sqrt{3} = 0$ 上一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引一条切线 $P A$ ，其中 $A$ 为切点，则 $| P A |$ 的最小值为 $2$ D、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点 $P$ 为直线 $l ： 2 x + y - 8 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ ， $P B$ ， $A ， B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过点 $(1 ， \frac{1}{2})$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{a_{n} + 3} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{16}$ 为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 以下四个命题表述正确的是（）

A、直线 $(3 + m) x + 4 y - 3 + 3 m = 0 (m \in R)$ 恒过定点 $(- 3 ， - 3)$ B、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有且仅有3个点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1 C、圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 8 y + m = 0$ 恰有三条公切线，则 $m = 4$ D、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，点P为直线 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ 上一动点，过点 $P$ 向圆 $C$ 引两条切线 $P A$ 、 $P B$ ， $A$ 、 $B$ 为切点，则直线 $A B$ 经过定点 $(1 ， 2)$

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10. 对于数列 ${a_{n}}$ ，设其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{3} ， S_{9} ， S_{6}$ 成等差，则 $a_{2} ， a_{8} ， a_{5}$ 也成等差 B、若数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，则 $S_{2 n}^{2} = S_{n} \cdot S_{3 n}$ C、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $S_{5} = S_{8} ， a_{1} < 0$ ，则使得 $S_{n} > 0$ 的最小的 $n$ 值为13 D、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{1} = 1 ， a_{3} = 2 \sqrt{2} + 1$ ，则 ${a_{n}}$ 中任意三项均不能构成等比数列

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11. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的动点，则下列结论正确的是（）

A、 $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ B、离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{2}$ D、以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $x + y - \sqrt{2} = 0$ 相切

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12. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} a_{n} = \frac{1}{2^{n}} (n \in N *)$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $a_{2 n - 1} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ B、 $a_{n + 1} \leq a_{n}$ C、 $S_{n} < 3$ D、 $S_{n} < \frac{3}{2} S_{n - 1}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)}$ ，则此数列的前8项和为．

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14. 点 $P_{0} (3 ， 2)$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 外一点，过点 $P_{0}$ 作圆的两条切线，切点分别为 $P_{1} ， P_{2}$ ，则切点弦 $P_{1} P_{2}$ 所在直线方程为.

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15. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 4 y = 0$ 的交点为A ， B ，则弦AB的长为．

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16. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，点P是以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 $P F_{2}$ 与椭圆交于点Q，若 $| P F_{1} | = 4 | Q F_{2} |$ ，则直线 $P F_{2}$ 的斜率为．

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四、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 15$ ， $S_{5} = 45$ ．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $a_{n}$ 为 $a_{n - 3}$ 与 $a_{2 n - 1} (n \geq 4 ， n \in N^{*})$ 的等比中项，求 $n$ ．

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18. 已知直线 $l_{1} ： 3 x + 4 a y - 2 = 0 (a > 0) ， l_{2} ： 2 x + y + 2 = 0 .$

(1)、当 $a = 1$ 时，直线 $l$ 过 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且垂直于直线 $x - 2 y - 1 = 0$ ，求直线l的方程；

(2)、求点 $M (\frac{5}{3} ， 1)$ 到直线 $l_{1}$ 的距离d的最大值.

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19. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} = 9$ ， $S_{11} = 121$ ，数列 ${b_{n}}$ 是单调递增的等比数列且满足 $b_{1} + b_{4} = 9$ ， $b_{2} b_{3} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = {\begin{array}{l} a_{n} ， & n = 2 k - 1 ， \\ b_{n} ， & n = 2 k \end{array} (k \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项的和 $S_{2 n}$ .

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20. 已知椭圆 $C$ 的两个焦点为 $(- 1 ， 0) ， (1 ， 0)$ ，点 $A (1 ， \frac{3}{2})$ 在 $C$ 上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，直线 $A P ， A Q$ 的斜率之和为0.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 的斜率.

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21. 已知圆 $D ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ ，过点 $P (0 ， - 1)$ 的直线 $l$ 与圆 $D$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $| M N | = 2$ ，圆 $Q$ 是以线段 $M N$ 为直径的圆．

(1)、求圆 $Q$ 的方程；

(2)、设 $A (0 ， t) ， B (0 ， t + 6) (- 5 \leq t \leq - 2)$ ，圆 $Q$ 是 $△ A B C$ 的内切圆，试求 $△ A B C$ 面积的取值范围．

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个顶点为 $A (0 ， 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程

(2)、如图，过 $A$ 作斜率为 $k_{1} ， k_{2}$ 的两条直线，分别交椭圆于 $M ， N$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 2$ 证明：直线 $M N$ 过定点并求定点坐标

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