江苏省苏州市2023-2024学年高一上学期11月期中摸底数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $A = {- 1 ， 1}$ ，则集合 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0}$ C、 ${0 ， 1}$ D、 ${1 ， 2}$

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2. 函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{2 x}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ B、 $[- 1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 0)$ D、 $[- 1 ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$

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3. “函数 $f (x) = (a - 2) x + 3$ 在 $R$ 上为减函数”是“ $a \in (0 ， 1)$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 函数 $y = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x ， (x > 0) \\ 2^{x} ， (x \leq 0) \end{array}$ ，若 $f (3) = a$ ，则 $f (a - 2) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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6. 专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间 $t$ （单位：天）与病情爆发系数 $f (t)$ 之间，满足函数模型： $f (t) = \frac{1}{1 + e^{- 0.22 (t - 50)}}$ ，当 $f (t) = 0.1$ 时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时 $t$ 约为（）
(参考数据： $e^{1.1} \approx 3$ )

A、38 B、40 C、45 D、47

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7. 函数 $y = f (x)$ 在 $(- 2 ， 3)$ 上单调递增，且 $f (2 m - 1) > f (- m)$ ，则实数 $m$ 的取值范围是

A、 $(\frac{1}{3} ， 2)$ B、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ C、 $(- \frac{1}{3} ， \frac{1}{3})$ D、 $(2 ， + \infty)$

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8. 黎曼函数 $R (x)$ 是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用， $R (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的定义为：当 $x = \frac{q}{p}$ （ $p > q$ ，且 $p$ ， $q$ 为互质的正整数）时， $R (x) = \frac{1}{p}$ ；当 $x = 0$ 或 $x = 1$ 或 $x$ 为 $(0 ， 1)$ 内的无理数时， $R (x) = 0$ .已知 $a$ ， $b$ ， $a + b \in [0 ， 1]$ ，则（）注： $p$ ， $q$ 为互质的正整数 $(p > q)$ ，即 $\frac{q}{p}$ 为已约分的最简真分数.

A、 $R (x)$ 的值域为 $[0 ， \frac{1}{2}]$ B、 $R (a \cdot b) \geq R (a) \cdot R (b)$ C、 $R (a + b) \geq R (a) + R (b)$ D、以上选项都不对

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二、多选题

9. 图中阴影部分用集合表示正确的是（）

A、 $A \cap B$ B、 $∁_{A} (A ∩ ∁ {}_{U}B)$ C、 $∁_{B} (B ∩ ∁ {}_{U}A)$ D、 $(∁_{U} A) ∩ (∁ {}_{U}B)$

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10. 下列命题中假命题有（）

A、 $\forall x \in Z$ ， $x^{2} + 1 > 0$ B、“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的充要条件 C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} - x + 1 < 0$ D、函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x + 2$ 的值域为 $(- \infty ， + 3]$

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11. 若 $10^{a} = 4$ ， $10^{b} = 25$ ，则（）

A、 $a + b = 2$ B、 $b - a = 1$ C、 $a b > 8 \lg^{2} 2$ D、 $b - a > \lg 6$

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12. 下列说法正确的是（）

A、若 $a ， b$ 为正数，且满足 $a + b + 3 = a b$ ，则 $a + b$ 的最小值为 $6$ B、已知实数 $a > - 1$ ，则表达式 $\frac{a^{2} - 2 a + 6}{a + 1}$ 的最小值为 $2$ C、已知实数 $a > 1 ， b > 1$ 且 $a \neq b$ ，满足 $a b + a - b - 5 = 0$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最小值为 $1$ D、若两个不相等的正数 $a ， b$ 满足 $a b + 2 a + b - 2 = 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{2 a + b}$ 的最小值为 $\frac{5 (\sqrt{2} + 1)}{2}$

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x \in [0 ， + \infty) ， x^{3} + x \geq 0$ ”的否定是.

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14. 已知幂函数 $f (x)$ 的图象经过点 $(2 ， \frac{1}{8})$ ，则该函数的单调区间为.

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15. 已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $(- \infty ， 0]$ 上单调递减，且 $f (- 2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) < 0$ 的解集为.

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2}$ ， $g (x) = a | x - 1 |$ ， $a$ 为常数，若对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [0 ， 2]$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) - f (x_{2}) < g (x_{1}) - g (x_{2})$ 则实数 $a$ 的取值范围为.

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四、解答题

17.

(1)、求 $8 1^{\frac{1}{4}} - {(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{0} + {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}}$ 的值；

(2)、已知 $x + x^{- 1} = 14$ ，求 $\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} + 4}{x^{2} + x^{- 2} - 200}$ 的值.

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18. 已知命题：“ $\forall x \in [- 1 ， 3]$ ，都有不等式 $x^{2} - 4 x - m < 0$ 成立”是真命题.

(1)、求实数 $m$ 的取值集合 $A$ ；

(2)、设不等式 $x^{2} - 3 a x + 2 a^{2} \geq 0 (a \neq 0)$ 的解集为 $B$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 4}$ 是定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的奇函数，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{17}$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、用单调性定义证明：函数 $f (x)$ 在区间 $(- 2 ， 2)$ 上单调递增；

(3)、若 $f (a + 1) + f (1 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产 $x$ 台 $(x \in N^{*})$ 的收入函数为 $R (x) = 3000 x - 20 x^{2}$ （单位：元），其成本函数为 $C (x) = 500 x + 4000$ （单位：元），利润是收入与成本之差．

(1)、求利润函数 $P (x)$ 及利润函数 $P (x)$ 的最大值；

(2)、为了促销，如果每月还需投入500元的宣传费用，设每台产品的利润为 $Q (x)$ ，求 $Q (x)$ 的最大值及此时 $x$ 的值．

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21. 已知函数 $g (\sqrt{x} + 2) = x + 2 \sqrt{x} + 1$

(1)、求函数 $g (x)$ 的解析式；

(2)、设 $f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 2 x}{x}$ ，若存在 $x \in [\frac{1}{3} ， 3]$ 使 $f (x) - k x \leq 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围．

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22. 对于定义域为 $I$ 的函数，如果存在区间 $[m ， n] \subseteq I$ ，同时满足下列两个条件：
① $f (x)$ 在区间 $[m ， n]$ 上是单调的；
②当定义域是 $[m ， n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m ， n]$ ．则称 $[m ， n]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“黄金区间”．

(1)、请证明：函数 $y = 1 - \frac{1}{x} (x > 0)$ 不存在“黄金区间”．

(2)、已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ 在 $R$ 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．

(3)、如果 $[m ， n]$ 是函数 $y = \frac{(a^{2} + a) x - 1}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“黄金区间”，请求出 $n - m$ 的最大值．

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