陕西省榆林市“府、靖、绥、横、定“五校2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 以 $(3 ， - 1)$ 为圆心，且经过点 $(7 ， - 4)$ 的圆的方程是（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 5$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$

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2. 若 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3 ， - 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2 \vec{b}) =$ （）

A、22 B、 $- 22$ C、 $- 29$ D、29

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3. 已知直线l经过点 $(- 3 ， - 2)$ ， $(1 ， 2)$ ，则下列不在直线l上的点是（）

A、 $(- 2 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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4. 在梯形 $A B C D$ 中， $| C D | = 2 | A B | = 6$ ，且 $A B$ 和 $C D$ 所在直线的方程分别是 $x + 2 y - 3 = 0$ 与 $x + 2 y + 7$ $= 0$ ，则梯形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $\frac{9}{2} \sqrt{5}$ B、 $9 \sqrt{5}$ C、 $\frac{45}{2}$ D、45

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5. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底， $\vec{m} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b} - \vec{c}$ ， $\vec{n} = x (\vec{a} - \vec{b}) + y (\vec{b} - \vec{c}) + 4 (\vec{a} + \vec{c})$ ，若 $\vec{m} / / \vec{n}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $- 6$ B、0 C、5 D、6．

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6. 已知圆 $C$ 经过点 $M (3 ， - 5) ， N (- 1 ， 3)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $3 x + y + 5 = 0$ 上，若 $P$ 为圆 $C$ 上的动点，则线段 $O P (O$ 为坐标原点）长度的最大值为（）

A、 $\sqrt{5} + 5$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、10 D、 $2 \sqrt{5} + 10$

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7. 在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A A_{1} = 5$ ， $A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 6 0^{∘}$ ，则 $B D_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{53}$ B、7 C、6 D、 $\sqrt{33}$

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8. 已知圆 $C_{1} {(x + 6)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = 49$ 和点 $A (0 ， - 4)$ ， $B (0 ， 2)$ ，若点 $M$ 在圆 $C$ 上，且 ${| A M |}^{2} + {| B M |}^{2} = m$ ，则实数 $m$ 的取值范目是（）

A、 $(18 ， 36]$ B、 $(18 ， 27]$ C、 $[36 ， 596]$ D、 $[27 ， 307]$

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二、多选题

9. 若直线l过点 $(4 ， - 2)$ 且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）

A、 $x - 2 y = 0$ B、 $x + 2 y = 0$ C、 $x + y - 2 = 0$ D、 $x - y - 6 = 0$

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10. 若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c} + \vec{a}$ C、 $3 \vec{a} - 4 \vec{b}$ ， $2 \vec{b} - 3 \vec{c}$ ， $3 \vec{a} - 6 \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $2 \vec{c}$

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11. 已知圆 $M ： x^{2} + y^{2} + 4 x = 0$ 和圆 $N ： x^{2} + y^{2} - 4 y - 12 = 0$ 相交于A ， $B$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $A B ⊥ M N$ B、直线 $A B$ 的方程为 $x + y + 3 = 0$ C、线段 $A B$ 的长为 $\sqrt{14}$ D、 $M$ 到直线 $A B$ 的距离与 $N$ 到直线 $A B$ 的距离之比为 $1 ： 4$

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12. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B B_{1} = 2 B C = 4 ， M ， N$ 分别为棱 $A_{1} D_{1} ， A A_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $M N$ $/ /$ 平面 $A B C_{1}$ B、 $B_{1} D$ ⊥平面 $C M N$ C、异面直线CN和AB所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若P为线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值

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三、填空题

13. 直线 $3 x + \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角为．

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14. 已知 $\vec{n} = (- 3 ， 1 ， 2)$ 是平面α的一个法向量，点 $A (0 ， - 3 ， 1)$ ， $B (k ， 2 k ， 4)$ 在平面α内，则 $k =$ ．

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15. 已知直线 $l ： a x - y - a + 2 = 0$ 与圆 $C ： {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 9$ 交于A ， $B$ 两点，则 $| A B |$ 的最小值为．

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16. 2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是 $A (2 ， 4)$ ，军营所在位置为 $B (6 ， 2)$ ，河岸线所在直线的方程为 $x + y - 3 = 0$ ，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为．

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四、解答题

17. 已知三条直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y + 11 = 0$ ， $l_{2} ： x + 2 y - 3 = 0$ 和 $l_{3} ： (2 m - 3) x - (m + 1) y - 2 m + 3 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} / / l_{3}$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若三条直线相交于一点，求实数 $m$ 的值.

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18. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (- 2 ， 1 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 2 ， 2)$ ， $C (- 3 ， 1 ， 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、若 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 3 \vec{b}$ 互相垂直，求 $λ$ 的值；

(2)、求点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离．

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19. 已知 $A (2 ， 1) ， B (0 ， 5) ， C (1 ， - 2)$ ，圆 $M$ 是 $△ A B C$ 的外接圆．

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $(1 ， - 5)$ ，且被圆 $M$ 截得的弦长为6，求直线 $l$ 的方程．

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，E ， F分别在棱 $P D$ ， $B C$ 上且 $P E = \frac{1}{3} P D$ ， $C F = \frac{1}{3} B C$ ．

(1)、证明： $C E$ ∥平面 $P A F$ ；

(2)、若 $A D = A P$ ，求直线 $C D$ 与平面 $P A F$ 所成角的正弦值．

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21. 已知曲线C上任意一点到点 $A (2 ， - 3)$ 的距离与到点 $B (3 ， - 5)$ 的距离之比为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、过直线 $l ： x - 2 y + 7 = 0$ 上一点 $P$ 向曲线 $C$ 作切线，切点分别为 $M$ ， $N$ ，若圆 $D$ 过 $P$ ， $M$ ， $N$ 三点，证明圆 $D$ 恒过定点，并求出所有定点的坐标．

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22. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 为正方形，四边形 $B B_{1} A_{1} A$ 为菱形，且 $∠ B B_{1} A = 6 0^{∘}$ ，平面 $B B_{1} A_{1} A ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， M为棱 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B B_{1} ⊥ A M$ ；

(2)、棱 $A_{1} C_{1}$ （除两端点外）上是否存在点N ，使得平面 $B_{1} C N$ 与平面 $B_{1} C_{1} N$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{31}}{31}$ ？若存在，请求出点N的位置；若不存在，请说明理由．

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