四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为（）

A、8 B、9 C、12 D、16

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2. 某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有（）

A、6000人 B、6240人 C、6300人 D、6400人

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3. 给出下列命题：
①若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量 $\vec{c}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ ；
④若 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间的一个基底，则 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为（）
成绩分组/分
$[45 ， 55)$
$[55 ， 65)$
$[65 ， 75)$
$[75 ， 85)$
$[85 ， 95]$
人数/人
4
25
50
15
6

A、59 B、59.4 C、69 D、69.4

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5. 若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (\bar{B}) = \frac{1}{4}$ ， $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 的关系为（）

A、相互独立 B、互为对立 C、互斥 D、无法判断

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6. 把边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 折起，使得平面 $A B D$ 与平面 $C B D$ 所成二面角的大小为 $120 °$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为 $s_{1}^{2}$ ．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误， $A$ 同学实际成绩137分，被错录为118分； $B$ 同学实际成绩115分，被错录为103分； $C$ 同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为 $s_{2}^{2}$ ，则 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系为（）

A、 $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ B、 $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ C、 $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ D、不能确定

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8. 如图所示的多面体是由底面为 $A B C D$ 的长方体被截面 $A E C_{1} F$ 所截得到的，其中 $A B = 3$ ， $B C = 2$ ， $C C_{1} = 4$ ， $B E = 2$ ，则 $B C$ 中点 $G$ 到平面 $A E C_{1} F$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{11}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{11}$ C、 $\frac{3 \sqrt{22}}{22}$ D、 $\frac{9 \sqrt{22}}{22}$

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二、多选题

9. 一组数据 $x_{i} (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n)$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，方差为 $s^{2}$ ，新数据 $a x_{i} + c (i = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯ ， n)$ 的平均值为 ${\bar{x}}^{'}$ ，方差为 ${s^{'}}^{2}$ ．下列结论正确的是（）

A、 ${\bar{x}}^{'} = a \bar{x}$ B、 ${s^{'}}^{2} = a^{2} a^{2} + c$ C、 ${\bar{x}}^{'} = a \bar{x} + c$ D、 ${s^{'}}^{2} = a^{2} s^{2}$

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10. 下面结论正确的是（）

A、若事件 $M$ 与 $\bar{N}$ 相互独立，则 $\bar{M}$ 与 $N$ 也相互独立 B、若事件 $M$ 与 $\bar{N}$ 是互斥事件，则 $M$ 与 $N$ 也是互斥事件 C、若 $P (M) = 0.4$ ， $P (N) = 0.3$ ， $M$ 与 $N$ 相互独立，则 $P (M ∪ N) = 0.58$ D、若 $P (M) = 0.6$ ， $P (N) = 0.4$ ，则 $M$ 与 $N$ 互为对立事件

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11. 某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为 $5 ： 3$ ，该单位全体工作人员平均体重 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ 分别为（）

A、 $\bar{x} = 61$ B、 $\bar{x} = 60$ C、 $s^{2} = 155$ D、 $s^{2} = 169$

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12. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $S A = A B = 2$ ，点 $O$ 是 $A C$ 中点，点 $M$ 是棱 $S D$ 的上动点（ $M$ 与端点不重合）．下列说法正确的是（）

A、从 $A$ 、 $O$ 、 $C$ 、 $S$ 、 $M$ 、 $D$ 六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为 $\frac{9}{10}$ B、从 $A$ 、 $O$ 、 $C$ 、 $S$ 、 $M$ 、 $D$ 六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为 $\frac{3}{5}$ C、存在点 $M$ ，使直线 $O M$ 与 $A B$ 所成的角为 $60 °$ D、不存在点 $M$ ，使 $O M / /$ 平面 $S B C$

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三、填空题

13. 某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636 0293 7140 9857 5727 0347 4373 9647 4698 3312
6710 0371 6233 2616 9597 8045 6011 3661 4281 7424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为．

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14. 某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取 $n$ 名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则 $n =$ ．

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15. 某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为 $0.4$ ，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加 $0.1$ ，反之降低 $0.1$ ．则独孤队不超过四局获胜的概率为．

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16. 已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两之间的夹角均为 $60 °$ ，且 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $| \vec{c} | = 2$ ，若向量 $\vec{x}$ ， $\vec{y}$ 分别满足 $\vec{y} \cdot (\vec{y} + \vec{a} - \vec{b}) = 0$ 与 $\vec{x} \cdot \vec{c} = 12$ ，则 $| \vec{y} - \vec{x} |$ 的最小值为．

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四、应用题

17. 某稻谷试验田试种了 $A$ ， $B$ 两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记 $A$ ， $B$ 两个品种各10亩产量的平均数分别为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，方差分别为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ．
$A$ （单位： $10 k g$ ）
60
63
50
76
71
85
75
63
63
64
$B$ （单位： $10 k g$ ）
56
62
60
68
78
75
76
62
63
70

(1)、分别求这两个品种产量的极差和中位数；

(2)、求 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ， $S_{1}^{2}$ ， $S_{2}^{2}$ ；

(3)、依据以上计算结果进行分析，推广种植 $A$ 品种还是 $B$ 品种水稻更合适．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 1$ ， $P A = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $H$ 在线段 $P D$ 上且 $D H = \frac{1}{3} D P$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A P}$ 表示向量 $\vec{P E}$ ；

(2)、求 $E H$ 的长．

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19. 药品监督局检测某种产品的两个质量指标 $x$ ， $y$ ，用综合指标 $Q = x \cdot y$ 核定该产品的等级．若 $Q \leq 4$ ，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
$A_{1}$
$A_{2}$
$A_{3}$
$A_{4}$
$A_{5}$
质量指标 $(x ， y)$
$(1 ， 2)$
$(2 ， 2)$
$(2 ， 4)$
$(1 ， 3)$
$(2 ， 3)$
产品编号
$A_{6}$
$A_{7}$
$A_{8}$
$A_{9}$
$A_{10}$
质量指标 $(x ， y)$
$(1 ， 5)$
$(3 ， 1)$
$(2 ， 1)$
$(1 ， 1)$
$(2 ， 3)$

(1)、利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)、在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件 $B$ 为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足 $Q \leq 3$ ”，求事件 $B$ 的概率．

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20. 如图四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $∠ C B A = \frac{π}{4}$ ，四边形 $A B E F$ 是梯形， $B E / / A F$ ，且 $A B ⊥ A F$ ， $A B = B E = \frac{1}{2} A F = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，沿 $A B$ 将四边形 $A B C D$ 翻折后使得平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A B E F$ ．

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求二面角 $A - C E - D$ 的正弦值．

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21. 某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组： $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ ，并绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、补全频率分布直方图，若只有 $20 %$ 的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；

(2)、采用分层随机抽样的方法从成绩为80~100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；

(3)、进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 五个等级．若两科笔试成绩均为 $A +$ ，则直接参加；若一科笔试成绩为 $A +$ ，另一科笔试成绩不低于 $B$ ，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的概率分别为 $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{6}$ ， $\frac{1}{12}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{3}{20}$ ；乙在每科笔试中取得 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{10}$ ， $\frac{1}{20}$ ；丙在每科笔试中取得 $A +$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{1}{20}$ ， $\frac{1}{60}$ ；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为 $\frac{1}{5}$ ， $\frac{5}{16}$ ， $\frac{5}{9}$ ．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．

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22. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ D A B = \frac{π}{3}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B_{1} B$ 和 $D_{1} D$ 上．

(1)、若 $B E = \frac{1}{3} B B_{1}$ ， $D F = \frac{2}{3} D D_{1}$ ，求证： $A$ ， $E$ ， $C_{1}$ ， $F$ 四点共面；

(2)、求 $V_{A_{1} - A E F}$ ；

(3)、若 $B E = \frac{1}{3} B B_{1}$ ，点 $F$ 为线段 $D D_{1}$ 上（包括端点）的动点，求直线 $E F$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值的取值范围．

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成绩分组/分	$[45 ， 55)$	$[55 ， 65)$	$[65 ， 75)$	$[75 ， 85)$	$[85 ， 95]$
人数/人	4	25	50	15	6

$A$ （单位： $10 k g$ ）	60	63	50	76	71	85	75	63	63	64
$B$ （单位： $10 k g$ ）	56	62	60	68	78	75	76	62	63	70

产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标 $(x ， y)$	$(1 ， 2)$	$(2 ， 2)$	$(2 ， 4)$	$(1 ， 3)$	$(2 ， 3)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标 $(x ， y)$	$(1 ， 5)$	$(3 ， 1)$	$(2 ， 1)$	$(1 ， 1)$	$(2 ， 3)$