四川省成都市彭州市2023-2024学年高三上学期期中教学质量调研数学（文科）试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6} ， A = {1 ， 3 ， 5} ， B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${2 ， 6}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${1 ， 3 ， 4 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 4 ， 6}$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(- 1 ， 1)$ ，则 $z \bar{z} + z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

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3. 已知命题 $p ： \forall n \in N$ ， $2^{n} - 2$ 不是素数，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists n \notin N$ ， $2^{n} - 2$ 是素数 B、 $\forall n \in N$ ， $2^{n} - 2$ 是素数 C、 $\forall n \notin N$ ， $2^{n} - 2$ 是素数 D、 $\exists n \in N$ ， $2^{n} - 2$ 是素数

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} ， \frac{S_{4}}{4} - \frac{S_{2}}{2} = 2$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 1) ， \vec{b} = (x ， - 1)$ ，则“ $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ”是“ $x = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 2023年“三月三”期间，广西交通部门统计了2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年比较，得到同比增长率（同比增长率＝（今年车流量-去年同期车流量）÷去年同期车流量×100％））数据，绘制了如图所示的统计图，则下列结论错误的是（）

A、2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的极差为23 B、2023年4月19日至4月25日的高速公路车流量的中位数为17 C、2023年4月19日至4月21日的高速公路车流量的标准差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路车流量的标准差 D、2022年4月23日的高速公路车流量为20万车次

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7. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (- \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、1 D、 $- 1$

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8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3³⁶¹ ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为10⁸⁰ ，则下列各数中与 $\frac{M}{N}$ 最接近的是（　　）
（参考数据：lg3≈0.48）

A、10³³ B、10⁵³ C、10⁷³ D、10⁹³

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9. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 斜率为 $\frac{4}{3}$ 的直线与 $C$ 的右支交于点 $P$ ，若线段 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴的交点恰为 $P F_{1}$ 的中点，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、2 D、3

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10. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (x)$ ，当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = - l o g_{2} x$ ．若函数 $F (x) = f (x) - s i n π x$ 在区间 $[- 1 ， m]$ 上有5个零点，则实数m的取值范围是（）

A、[1，1.5) B、[1.5，2) C、[2，2.5) D、[2.5，3)

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11. 已知 $f (x) = e^{x} + e^{2 - x}$ ，则不等式 $f (2 x + 1) < f (x)$ 的解集为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ B、 $(- 1 ， \frac{1}{3})$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{3}) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 1) ∪ (\frac{1}{3} ， + \infty)$

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12. 已知 $f (x) = \sin x$ ，对任意 $x_{1} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，都存在 $x_{2} \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 使得 $f (x_{1}) - 2 f (x_{2} + θ) = - 1$ 成立，则下列 $θ$ 取值可能的是（）

A、 $\frac{3 π}{13}$ B、 $\frac{5 π}{13}$ C、 $\frac{7 π}{13}$ D、 $\frac{9 π}{13}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1} ， x \leq 2 \\ 2 f (x - 2) ， x > 2 \end{array}$ ，则 $f (3) =$ ．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = 2 a_{n - 1} (n \geq 2 ， n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} =$ .

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15. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，一条平行于 $x$ 轴的光线从点 $A (5 ， 4)$ 射出，经过抛物线上的点 $B$ 反射后，再经抛物线上的另一点 $C$ 射出，则 $| B C | =$ ．

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16. 已知正数a ， b满足 $e^{a} + a = l n (b e^{b}) = 2$ （e为自然对数的底数），有下列三个关系式：
① $b e^{b} = e^{2}$ ② $a + b = 2$ ③ $e^{a} + l n b = 2$
其中正确的是（填序号）．

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三、解答题

17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $a s i n B + \sqrt{3} b c o s A = 0$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = 3$ ， $s i n B s i n C = \frac{1}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D ， A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D ， P A = A D = 4 ， A B = B C = 2 ， E ， F$ 分别为 $C D ， P A$ 的中点．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - C D F$ 的体积．

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19. 某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A ， B两门学科成绩作为样本．将他们的A学科成绩整理得到如图所示的频率分布直方图，且规定成绩不小于70分为良好．已知他们中B学科良好的有50人，两门学科均良好的有40人．

(1)、根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的A学科良好与B学科良好有关；

B学科良好
B学科不够良好
合计
A学科良好
A学科不够良好
合计

(2)、为了进一步分析学生成绩，从A学科不够良好的学生中采用分层抽样的方法抽出6人，最后从这6人中随机选出2人进行访谈，求其中恰有1人为B学科良好的概率.
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1} ， A_{2}$ ，点 $M (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且 $\vec{M A_{1}} \cdot \vec{M A_{2}} = - \frac{3}{4}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 斜率不为0的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P ， Q$ 两点，记直线 $M P$ 与直线 $M Q$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，当 $k_{1} + k_{2} = 0$ 时，求 $△ M P Q$ 的面积.

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{2} (x^{2} - 2 x)$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 存在极大值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，曲线 $C_{1} ： x^{2} - y^{2} = 2$ ，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 c o s θ \\ y = 2 s i n θ \end{array}$ （ $θ$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在极坐标系中，射线 $θ = \frac{π}{6}$ 与曲线 $C_{1} ， C_{2}$ 分别交于 $A ， B$ 两点（异于极点 $O$ ），求 $| A B |$ 的长度.

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23. 已知 $f (x) = 2 | x + 2 | - | a x |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若对任意 $x \in (- 1 ， 1)$ ，不等式 $f (x) > x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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	B学科良好	B学科不够良好	合计
A学科良好
A学科不够良好
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828