重庆市名校联盟2023-2024学年度高二上学期期中联考数学试题

试卷更新日期：2023-11-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知点 $A (0 ， 1) ， B (1 ， 0)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1 ， m ， 2) ， \vec{b} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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3. 已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率是方程 $x^{2} + m x - 2 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $l_{1} ∥ l_{2}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交但不垂直 D、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系不确定

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4. 过点 $A (1 ， - 1)$ ， $B (- 1 ， 1)$ ，且圆心在直线 $x + y - 2 = 0$ 上的圆的方程是（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$

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5. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.已知四棱锥 $P - A B C D$ 是阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $\vec{P E} = 3 \vec{E C}$ ，若 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， \vec{A P} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{3}{8} \vec{a} + \frac{3}{8} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{c}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{3}{4} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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6. 已知直线 $l$ ： $m x - y - 3 m + 1 = 0$ 恒过点 $P$ ，过点 $P$ 作直线与圆C： $(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25$ 相交于A，B两点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 如图，平面 $A B C D$ 与平面 $B C E F$ 所成的二面角是 $\frac{π}{3}$ ， $P Q$ 是平面 $B C E F$ 内的一条动直线， $∠ D B C = \frac{π}{4}$ ，则直线 $B D$ 与 $P Q$ 所成角的正弦值的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ B、 $[\frac{\sqrt{6}}{4} ， 1]$ C、 $[\frac{\sqrt{2}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{2}]$ D、 $[\frac{\sqrt{2}}{2} ， 1]$

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，若圆 $C_{1} ： (x + 4)^{2} + (y - 1)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上存在点 $P$ ，且点 $P$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点 $Q$ 在圆 $C_{2} ： (x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ 上，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(3 ， 7)$ B、 $[3 ， 7]$ C、 $(3 ， + \infty)$ D、 $[3 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若过点 $A (4 ， 0)$ 的直线l与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 有公共点，则直线l的斜率可为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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10. 如图，以等腰直角三角形 $A B C$ 的斜边 $B C$ 上的高 $A D$ 为折痕，翻折 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ ，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $A C D$ .下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A C$ B、 $△ A B C$ 是等边三角形 C、三棱锥 $D - A B C$ 是正三棱锥 D、平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B C$

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11. 圆 $Q_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $Q_{2} ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - y = 0$ B、 $P$ 为圆 $Q_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、圆 $Q_{1}$ 上存在三个点到直线 $\sqrt{3} x - 3 y = 0$ 的距离为 $\frac{1}{2}$

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12. 已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，点 $M$ ， $N$ 分别为 $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 的重心， $P$ 为线段 $C N$ 上一点，则下列结论正确的是（）

A、若 $A P + B P$ 取得最小值，则 $C P = P N$ B、若 $C P = 3 P N$ ，则 $D P ⊥$ 平面 $A B C$ C、若 $D P ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $\frac{27 π}{2}$ D、直线 $M N$ 到平面 $A C D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

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三、填空题

13. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， 1 ， 5)$ ， $\vec{b} = (6 ， m ， - 15)$ 且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $m =$ .

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14. 已知方程 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 5 a = 0$ 表示圆，则整数 $a$ 可以是（答案不唯一，写一个即可）．

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15. 瑞士数学家欧拉（Euler）1765年在所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $C (2 ， 0)$ ，则 $△ A B C$ 欧拉线的方程为．

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16. 如图，已知菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， ∠ B A D = 120 ° ， E$ 为边 $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 翻折成 $△ A B_{1} E$ （点 $B_{1}$ 位于平面 $A B C D$ 上方），连接 $B_{1} C$ 和 $B_{1} D ， F$ 为 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中， $A E$ 与 $B_{1} C$ 的夹角为，点 $F$ 的轨迹的长度为．

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四、解答题

17. 三角形三个顶点是 $A (4 ， 0)$ ， $B (6 ， 7)$ ， $C (0 ， 3)$

(1)、求AB边上的高所在直线的方程；

(2)、求BC边上的中线所在直线的方程.

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18. 如图，设 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，动点 $P$ 在对角线 $B D_{1}$ 上，记 $\frac{| D_{1} P |}{| D_{1} B |} = λ$ ．

(1)、证明： $A P ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、当 $∠ A P C$ 为钝角时，求 $λ$ 的取值范围．

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19. 已知圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4$ ．

(1)、过点 $P (3 ， 2)$ 向圆C作切线l，求切线l的方程；

(2)、若Q为直线m： $3 x - 4 y + 8 = 0$ 上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求 $| Q M |$ 的最小值．

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20. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D ， E分别是棱AB ， $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A C = B C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得各条件相融．并求直线 $D E$ 与平面 $A B C_{1}$ 所成的角的正弦值．
条件①： $B C ⊥ A C_{1}$ ；条件②： $D E ⊥ B_{1} C_{1}$ ；条件③： $D E$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为1．

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21. 已知圆心在x轴的正半轴上，且半径为2的圆C被直线 $y = \sqrt{3} x$ 截得的弦长为 $\sqrt{13}$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、设动直线 $y = k (x - 2)$ 与圆C交于 $A ， B$ 两点，则在x轴正半轴上是否存在定点N，使得直线 $A N$ 与直线 $B N$ 关于x轴对称？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，点 $E$ 在 $△ A B C$ 内， $D E$ 是三棱锥 $D - A B C$ 的高，且 $D E = 2$ ． $△ A B C$ 是边长为 $6$ 的正三角形， $D B = D C = 5$ ．

(1)、求点 $C$ 到平面 $A B D$ 的距离；

(2)、点 $G$ 是棱 $A C$ 上的一点（不含端点），求平面 $D E G$ 与平面 $B C D$ 夹角余弦值的最大值．

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