（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 15.1 分式同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 对于非负整数x，使得 $\frac{x^{2} + 3}{x + 3}$ 是一个正整数，则符合条件x的个数有（）

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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2. 若 $x$ 是整数，则使分式 $\frac{8 x + 2}{2 x - 1}$ 的值为整数的 $x$ 值有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（）

A、乙＞甲＞丙 B、乙＞丙＞甲 C、甲＞乙＞丙 D、甲＞丙＞乙

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4. 当x分别取﹣2015、﹣2014、﹣2013、…，、﹣2、﹣1、0、1、 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、…、 $\frac{1}{2013}$ 、 $\frac{1}{2014}$ 、 $\frac{1}{2015}$ 时，计算分式 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ 的值，再将所得结果相加，其和等于（）

A、﹣1 B、1 C、0 D、2015

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5. 分式 $\frac{1}{x^{2} y}$ 和 $\frac{2}{x y^{2}}$ 的最简公分母是（）

A、 $x y$ B、 $x y^{2}$ C、 $x^{2} y^{2}$ D、 $x^{3} y^{3}$

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6. 下列分式是最简分式的是（）

A、 $\frac{a^{2} + a}{2 a + 2}$ B、 $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ C、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ D、 $\frac{n - m}{m - n}$

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7. 将分式 $\frac{x^{2}}{x + y}$ 中的 $x 、 y$ 的值同时扩大3倍，则扩大后分式的值（　　）

A、扩大3倍 B、扩大6倍 C、扩大9倍 D、扩大27倍

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8. 若实数 $m$ ， $n$ 满足 $2 m - 3 n = 0$ ，且 $m n \neq 0$ ，则 $\frac{m}{n} - \frac{n}{m}$ 的值为（）

A、 $- \frac{13}{6}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{13}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 若 $a$ ， $b$ 的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A、 $\frac{a}{2 a + b}$ B、 $\frac{a + 3}{2 a + b}$ C、 $\frac{a^{2}}{a + b}$ D、 $\frac{a - 3}{2 a - b}$

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10. 如果把分式 $\frac{2 m}{m - n}$ 中的m，n都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）

A、扩大为原来的2倍 B、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ C、扩大为原来的4倍 D、不变

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二、填空题

11. 分式 $\frac{(m - 1) (m - 3)}{m^{2} - 3 m + 2}$ 的值为0，则 $m =$ ．

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12. 如图所示，图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2，是一个边长为 $(a - 1)$ 的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 可化简为．

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13. 若分式 $\frac{x - y}{x + y} = 2$ 中的x，y的值都变为原来的3倍．则此分式的值为．

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14. 约分： $\frac{6 x^{2} - 12 x + 6}{4 x - 4}$ 的结果是（填“整式”或“分式”）

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15. 方程 $\frac{1}{2 x - 3} + 1 = \frac{2}{3 - 2 x}$ 的最简公分母是．

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三、解答题

16. 是否存在实数x，使分式 $\frac{4 x + 10}{3 x - 6}$ 的值比分式 $\frac{5 x - 4}{x - 2}$ 的值大1？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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17. 当x取何整数时，分式 $\frac{6}{x - 1}$ 的值是整数？

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18. 先化简 $\frac{2 a + 2}{a} \div \frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2}} - \frac{a}{a + 1}$ ，再在 $- 2 < a < 2$ 的范围内选取一个你喜欢的整数a代入，求出化简后分式的值．

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19. 阅读下面材料，并解答问题.
将分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

解：由分母为x²﹣1，可设x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b.

则x⁴+x²﹣3＝（x²﹣1）（x²+a）+b＝x⁴﹣x²+ax²﹣a+b＝x⁴+（a﹣1）x²﹣a+b

∴ ${\begin{cases} a - 1 = 1 \\ - a + b = - 3 \end{cases}$ ，∴ ${\begin{cases} a = 2 \\ b = - 1 \end{cases}$

∴ $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2) - 1}{x^{2} - 1}$ ＝ $\frac{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2)}{x^{2} - 1}$ ﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ ＝（x²+2）﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$

这样，分式 $\frac{x^{4} + x^{2} - 3}{x^{2} - 1}$ 被拆分成了一个整式x²+2与一个分式﹣ $\frac{1}{x^{2} - 1}$ 的和.

根据上述作法，将分式 $\frac{x^{4} + 6 x^{2} - 8}{x^{2} - 1}$ 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.

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四、综合题

20. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： $\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}$ ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： $\frac{x + 1}{x - 2}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 像这样的分式是假分式；像 $\frac{1}{x - 2}$ ， $\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{(x - 2) + 3}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}$ ； $\frac{x^{2}}{x + 2} = \frac{(x + 2) (x - 2) + 4}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$ ，解决下列问题：

(1)、将分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 化为整式与真分式的和的形式为：（直接写出结果即可）

(2)、如果分式 $\frac{x^{2} + 2 x}{x + 3}$ 的值为整数，求 $x$ 的整数值

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21.
已知y= $\frac{x - 1}{2 - 3 x}$ ，x取哪些值时：

(1)、y的值是正数；

(2)、y的值是负数；

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22. 已知 $t = \frac{b x - 1}{x + a}$ $(a ， b$ 是常数， $x \neq - a) ①$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ， $b = \frac{1}{2}$ ，求 $t$ ；

(2)、试将等式 $①$ 变形成“ $A x = B$ ”形式，其中 $A$ ， $B$ 表示关于 $a$ ， $b$ ， $t$ 的整式；

(3)、若 $t$ 的取值与 $x$ 无关，请说明 $a b = - 1$ ．

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23. 有 $7$ 个如图 $1$ 的边长分别为 $a$ ， $b$ 的小长方形，拼成如图 $2$ 的大长方形．

(1)、观察图 $2$ ，请你写出 $a$ ， $b$ 满足的等量关系（用含 $a$ 的代数式表示 $b$ ）；

(2)、将这 $7$ 个图 $1$ 的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图 $3$ 所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
$①$ 记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ，试求 $\frac{m_{1}}{m_{2}}$ 的值；

$②$ 若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为 $86$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

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