（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 15.1 分式同步分层训练（提升卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 对于代数式 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 有甲、乙两种判断，其中正确的是（）
甲：是分式，因为 $x - 1$ 是整式，且分母 $x - 1$ 中含有字母；
乙：是整式，因此 $\frac{x - 1}{x - 1} = 1$ ，而1是整式；

A、甲对 B、乙对 C、甲和乙均对 D、甲和乙均不对

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2. 分式中 $\frac{1}{x^{2} + 5 x}$ 与 $\frac{1}{x^{2} - 25}$ 的最简公分母是（）

A、 $x (x + 5)$ B、 $(x + 5) (x - 5)$ C、 $x (x - 5)$ D、 $x (x + 5) (x - 5)$

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3. 若 $\frac{9 x}{9 - k}$ 是一个最简分式，则k可以是（）

A、x B、 $- 3$ C、3 D、 $3 x$

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4. 与 $\frac{m}{n}$ 相等的是（）

A、 $\frac{m^{2}}{n^{2}}$ B、 $\frac{m + 2}{n + 2}$ C、 $\frac{2 m}{2 n}$ D、 $\frac{m + n}{m n}$

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5. 若 $y = 3$ 时，分式 $\frac{▭}{2 - x}$ 的值为0，则 $▭$ 可能是（）

A、3 B、 $2 y - 3$ C、 $3 + y$ D、 $3 y - 9$

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6. 下面是马小虎的答卷，他的得分应是（）

姓名马小虎得分？
判断题 $($ 每小题 $20$ 分，共 $100$ 分 $)$
$(1)$ 代数式 $\frac{6}{x}$ ， $\frac{m + n}{m - n}$ 是分式 $. (\sqrt)$
$(2)$ 当 $x = - 1$ 时，分式 $\frac{x}{x + 1}$ 无意义 $. (\times)$
$(3) \frac{a^{2} + b^{2}}{a + b}$ 不是最简分式 $. (\times)$
$(4)$ 若分式 $\frac{| x | - 2}{x + 2}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为 $\pm 2 . (\sqrt)$
$(5)$ 分式 $\frac{y^{2}}{x + y}$ 中 $x$ ， $y$ 的值均扩大为原来的 $2$ 倍，分式的值保持不变 $. (\times)$

A、

40

分 B、

60

分 C、

80

分 D、

100

分

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7. 若 $\frac{*}{x + y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{x}$ 运算的结果为整式，则“ $*$ ”中的式子可能是（）

A、 $2 x$ B、 $y + x$ C、 $y - x$ D、 $\frac{2}{x}$

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8. 下列各式从左到右的变形正确的是（）

A、 $\frac{a^{2}}{a b} = \frac{a}{b}$ B、 $\frac{a}{b} = \frac{a^{2}}{a b}$ C、 $\frac{a + b}{b} = a$ D、 $\frac{a^{2} - 9}{a^{2} - 6 a + 9} = \frac{a - 3}{a + 3}$

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9. 如果把 $\frac{5 x y}{x + y}$ 中的 $x$ 与 $y$ 都扩大为原来的5倍，那么这个代数式的值（）

A、不变 B、扩大为原来的10倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{5}$ D、扩大为原来的5倍

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10. 如果分式 $\frac{| x | - 1}{x + 1}$ 的值为 $0$ ，那么 $x$ 的值为（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $\pm 1$

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二、填空题

11. 约分 $\frac{9 a^{2} b}{6 a b^{3}} =$ ．

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12. 化简： $\frac{10 a^{2} b}{5 a b} =$ ．

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13. 当 $x =$ 时，分式 $\frac{2 x^{2} - 8}{x + 2}$ 的值为零．

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14. 若分式 $\frac{2}{x - 1}$ 有意义，则x的取值范围是．

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15. 若分式 $\frac{2 x}{x - 1}$ 的值为0，则x的值为．

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三、解答题

16. 已知y＝ $\frac{x^{2}}{3 - 5 x}$ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?

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17. 是否存在实数x，使分式 $\frac{4 x + 10}{3 x - 6}$ 的值比分式 $\frac{5 x - 4}{x - 2}$ 的值大1？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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18.
若成立，求a的取值范围.

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19. 是否存在x，使得当y＝5时，分式 $\frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ 的值为0?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．

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四、综合题

20. 将下列各式进行约分：

(1)、
；

(2)、
.

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21. 对于四个整式：A． $2 x^{2}$ ；B． $m x + 5$ ；C． $- 2 x$ ；D．n．无论x取何值， $B + C + D$ 的值都为0．

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、计算 $A + B \cdot C + D + 1$ ，并把计算结果分解因式；

(3)、若 $\frac{B}{A} - \frac{D}{C}$ 的值是正数，直接写出x的取值范围．

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22. 材料一：小学时，我们学习了把假分数改写成带分数的问题.其实就是把假分数写成一个整数和一个真分数的和.例如： $\frac{10}{7} = 1 + \frac{3}{7} = 1 \frac{3}{7}$ .
类似的，我们也可以将下面这类分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如： $\frac{a + 1}{a} = 1 + \frac{1}{a}$ .
$\frac{a + 2}{a - 1} = \frac{(a - 1) + 3}{a - 1} = 1 + \frac{3}{a - 1}$ .
材料二：为了研究字母a和 $\frac{1}{a}$ 分式的变化关系，李磊制作了表格，并得到如下数据：
a
…
$- 4$
$- 3$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
4
…
$\frac{1}{a}$
…
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{1}{3}$
$- \frac{1}{2}$
$- 1$
无意义
1
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{4}$
…
请根据上述材料完成下列问题：

(1)、把分式写成一个整数和一个新分式的和的形式： $\frac{a + 2}{a} =$ ； $\frac{a + 1}{a - 2} =$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时.随着a的增大，分式 $\frac{a + 2}{a}$ 的值（填“增大”或“减小”）；

(3)、当 $a > - 2$ 时，随着a的增大，分式 $\frac{2 a + 5}{a + 2}$ 的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由.

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23. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)、下列分式： $① \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ； $② \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ； $③ \frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ； $④ \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}} .$ 其中是“和谐分式”是 $($ 填写序号即可 $)$ ；

(2)、若a为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{({ab}^{2} - b^{3}) b^{2}}$

小强： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．

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a	…	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	…
$\frac{1}{a}$	…	$- \frac{1}{4}$	$- \frac{1}{3}$	$- \frac{1}{2}$	$- 1$	无意义	1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	…

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