（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 14.3 因式分解同步分层训练（提升卷）

试卷更新日期：2023-11-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列分解因式错误的是（　　）

A、y（x-y）+x（x-y）＝（x-y）（x+y） B、25x²-4y²＝（5x+2y）（5x-2y） C、4x²+20x+25＝（2x+5）² D、a²（a-b）-2a（a-b）+b²（a-b）＝（a-b）³

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2. 若 $a - b = 8$ ， $a^{2} - b^{2} = 72$ ，则 $a + b$ 的值为（）

A、 $9$ B、 $- 9$ C、 $27$ D、 $- 27$

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3. 已知多项式 2x³-x²＋m 分解因式后有一个因式是 x＋1，则 m 的值为（）

A、－3 B、3 C、1 D、-1

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4. 下列多项式中能用完全平方公式分解的是（）

A、x²-x+1 B、1-2x+x² C、a²+a+ $\frac{1}{2}$ D、-a²+b²-2ab

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5. 已知： $a + b = 5 ， a - b = 1$ ，则 $a^{2} - b^{2} =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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6. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息： $x - y$ ， $a - b$ ， 2， $x^{2} - y^{2}$ ， $a$ ， $x + y$ ，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将 $2 a (x^{2} - y^{2}) - 2 b (x^{2} - y^{2})$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、爱我中华 B、我游中华 C、中华美 D、我爱游

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7. 已知 $d = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 12 x - 5$ ，则当 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ ， $d$ 的值为（）

A、25 B、20 C、15 D、10

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8. 已知 $a + b = 1 ， a b = - 6$ ，则 $a^{3} b - 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值为（）

A、57 B、120 C、 $- 39$ D、 $- 150$

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9. 下列因式分解正确的是（）

A、 $2 a x^{2} - 4 a x = 2 a (x^{2} - 2 x)$ B、 $- a x^{2} + 4 a x - 4 a = - a {(x - 2)}^{2}$ C、 $x^{2} + 2 x y + 4 y^{2} = {(x + 2 y)}^{2}$ D、 $- m^{2} + n^{2} = (- m + n) (- m - n)$

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10. 已知a、b、c是三角形的边长，那么代数式 ${(a - b)}^{2} - c^{2}$ 的值是（）

A、小于零 B、等于零 C、大于零 D、大小不确定

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二、填空题

11. 因式分解： $a b - a c =$ .

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12. 已知mn＝4，n-m＝3，则mn²-m²n＝.

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13. 因式分解： $25 m^{2} - 10 m n + n^{2} =$ ．

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14. 把多项式 $6 x^{3} y^{3} - 3 x^{2} y^{3}$ 分解因式时，应提取的公因式是．

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15. 在实数范围内分解因式： $x^{2} - 3 x - 1 =$ .

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三、解答题

16. 因式分解：

(1)、 $2 a^{2} - 8$ ；

(2)、 $a^{2} b - 2 a b^{2} + b^{3}$ ．

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17. 若a、b、c为三角形的三边长，求证： ${(a^{2} + b^{2} - c^{2})}^{2} - 4 a^{2} b^{2}$ 的值一定为负数．

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18. △ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．

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19. 阅读例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x²+4x+m有一个因式是（x+1），求另一个因式及m的值．

解：设另一个因式为（x+n），得x²+4x+m＝（x+1）（x+n），则

x²+4x+m＝x²+（n+1）x+n ，

∴ ${\begin{matrix} n + 1 = 4 \\ m = n \end{matrix}$ ，

解得 ${\begin{matrix} m = 3 \\ n = 3 \end{matrix}$ ，

∴另一个因式（x+3），m的值为3．

问题：已知二次三项式2x²+x+k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式及k的值．

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四、综合题

20. 下面是某同学对多项式 $(x^{2} - 4 x + 2) (x^{2} - 4 x + 6) + 4$ 进行因式分解的过程.
解：设 $x^{2} - 4 x = y$ ，

原式 $= (y + 2) (y + 6) + 4$

$= y^{2} + 8 y + 16$

$= (y + 4)^{2}$

$= {(x^{2} - 4 x + 4)}^{2}$

回答下列问题：

(1)、该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请写出因式分解的最后结果；

(2)、以上方法叫做“换元法”.请你模仿以上方法对 $(x^{2} - 2 x) (x^{2} - 2 x + 2) + 1$ 进行因式分解.

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21. 有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如 $m x + n x + m y + n y = (m x + n x) + (m y + n y) = x (m + n) + y (m + n) = (m + n) (x + y)$ ．根据上面的方法因式分解：

(1)、 $2 a x + 3 b x + 4 a y + 6 b y$ ；

(2)、 $m^{3} - m n^{2} - m^{2} n + n^{3}$ ．

(3)、已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} - a b + c^{2} = 2 a c - b c$ ，判断 $△ A B C$ 的形状并说明理由．

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22. 阅读下列材料：
材料1：将一个形如x²＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n，则可以把x²＋px＋q因式分解成（x＋m）（＋n）的形式，如x²＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；x²﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）

材料2：因式分解：（x＋y）²＋2（x＋y）＋1

解：将“x＋y”看成一个整体，令x＋y＝A，则原式＝A²＋2A＋1＝（A＋1）² ，再将“A”还原，得原式＝（x＋y＋1）²

上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：

(1)、根据材料1，把x²﹣6x＋8分解因式；

(2)、结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）²＋4（x﹣y）＋3

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23. 阅读以下材料，并解决问题：
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式． $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$ ．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1： $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$
$= (x^{2} - 4 y^{2}) - (2 x - 4 y)$ ……………………分成两组
$= (x + 2 y) (x - 2 y) - 2 (x - 2 y)$ ………………分别分解
$= (x - 2 y) (x + 2 y - 2)$ ………………………提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．

(1)、材料例1中，分组的目的是．

(2)、若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
$x^{2} - y^{2} + x + y =$ ；
$2 a + a^{2} - 2 b - 2 a b + b^{2} =$ ．

(3)、利用分组分解法进行因式分解： $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4$ ．

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