湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

试卷更新日期：2023-11-06 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1. 已知函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象过点 $(1 ， - 2)$ ，则该函数的图象经过（）

A、第二、四象限 B、第二、三象限 C、第一、三象限 D、第三、四象限

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2. 一元二次方程 $x^{2} + 4 x - 1 = 0$ 配方后化为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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3. 把 $m n = p q (m n \neq 0)$ 写成比例式，其中错误的是（）

A、 $\frac{m}{p} = \frac{q}{n}$ B、 $\frac{p}{m} = \frac{n}{q}$ C、 $\frac{q}{m} = \frac{n}{p}$ D、 $\frac{m}{n} = \frac{p}{q}$

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4. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象上的两点，若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则有（）

A、 $y_{1} < 0 < y_{2}$ B、 $y_{2} < 0 < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{2} < 0$ D、 $y_{2} < y_{1} < 0$

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5. 若 $n (n \neq 0)$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x - 3 n = 0$ 的一个根，则 $m + n$ 的值是（）

A、－3 B、－1 C、3 D、1

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6. 点B是线段AC的黄金分割点，且AB $<$ BC.若AC=4，则BC的长为（）

A、 $2 \sqrt{5} + 2$ B、 $2 \sqrt{5} - 2$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\sqrt{5} - 1$

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7. 如图所示，利用围墙的一边用13m的铁丝网围成一个面积为 $20 m^{2}$ 的矩形，求这个矩形中与围墙平行的一边长度，如果设平行于围墙的一边为 $x m$ ，那么可得方程（）

A、 $x (13 - x) = 20$ B、 $\frac{x}{2} (13 - x) = 20$ C、 $x (13 - \frac{1}{2} x) = 20$ D、 $\frac{x}{2} (13 - 2 x) = 20$

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8. 如图，已知 $∠ 1 = ∠ 2$ ，那么添加下列一个条件后，仍不能判定 $△ A B C ∽ △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $∠ C = ∠ A E D$ C、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$

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9. 已知关于x的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 2 m x + m + 3 = 0$ 有实根，则m的取值范围是（）

A、 $m \neq 2$ B、 $m \geq - 6$ 且 $m \neq 0$ C、 $m \leq 6$ D、 $m \leq 6$ 且 $m \neq 2$

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10. 函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 和 $y_{2} = - k x - k$ 在同一坐标系中的图象可以大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题（每小题3分，共24分）

11. 已知点 $A (- 3 ， 4)$ 与点 $B (6 ， m)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，则m的值为.

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12. 一元二次方程 $x (x - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - x$ 的根是.

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13. 若 $2 a = 3 b$ ，则 $\frac{a - b}{a}$ 的值为.

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14. 如图，已知直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线m、n分别与直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $l_{3}$ 分别交于点A、B、C、D、E、F，若 $D E = 4$ ， $D F = 9$ ，则 $\frac{B C}{A C}$ 的值为.

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15. 已知关于x的方程 $2 x^{2} + k x - 1 = 0$ ，若该方程的一个根是－1，则另一个根是.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件，使 $△ A B C ∽ △ A C D$ .（只填一个即可）

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17. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F.若 $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是.

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18. 如图， $△ A O B$ 是直角三角形， $∠ A O B = 90 °$ ， $∠ A B O = 30 °$ ，点A在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图像上，若点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像上，则 $k =$ .

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三、解方程（共8分）

19.

(1)、 $\frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{3}{2} = 0$

(2)、 $(x - 1) (x + 2) = 4$

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四、解答题（第20-25题，每题8分，第26题10分，共58分）

20. 已知 $y = (m + 1) x^{1 - | m |}$ 是关于x的反比例函数.

(1)、若 $x > 0$ 时，y随x的增大而减小，求m的值；

(2)、若该反比例函数图象经过第二象限内点 $A (n ， 6)$ ，求n的值.

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21. 在正方形ABCD中，E是边AD的中点，连接BE，过点E作 $G E ⊥ B E$ ，分别交CD及BC边延长线于点F，G.

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ D E F$ ；

(2)、若正方形的边长为4，求BG的长.

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22. 某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利50元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于30元，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件.

(1)、若每件衬衫降价5元，则每天可盈利多少元？

(2)、若商场平均每天盈利1600元，则每件衬衫应降价多少元？

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23. 已知 $▱ A B C D$ ，点E是BA延长线上一点，CE与AD，BD分别相交于点G，F.求证： $C F^{2} = E F \cdot G F$ .

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24. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} + m - 1 = 0$ 有两实数根.

(1)、求m的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是该方程的两个根，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ ，求m的值.

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25. 如图，反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 图象与一次函数 $y_{2} = - \frac{1}{2} x - 1$ 的图象交于点 $A (- 4 ， a)$ 与点B.

(1)、求a的值与反比例函数关系式；

(2)、连接OA，OB，求 $S_{△ A O B}$ ；

(3)、若 $y_{1} > y_{2}$ ，请结合图象直接写出x的取值范围.

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26. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x < 0)$ 的图象相交于点 $A (- 1 ， 6)$ ，与x轴交于点C，且 $∠ A C O = 45 °$ .

(1)、求反比例函数与一次函数关系式；

(2)、线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标；若不存在，请说明理由.

(3)、点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

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