（人教版）2023-2024学年八年级数学上册14.2 乘法公式同步分层训练（基础卷）

试卷更新日期：2023-11-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(a + 2 b) (2 a - b)$ B、 $(a - 3) (- a + 3)$ C、 $(x - 3)^{2}$ D、 $(2 x + y) (2 x - y)$

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2. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，错误的题目是（）
用平方差公式分解下列各式：
          $(1) a^{2} - b^{2}$
          $(2) 49 x^{2} - y^{2} z^{2}$
          $(3) - x^{2} - y^{2}$
          $(4) 16 m^{2} n^{2}$ 一 $25 p^{2}$

A、第 $(1)$ 题 B、第 $(2)$ 题 C、第 $(3)$ 题 D、第 $(4)$ 题

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3. 已知：a+b＝5，a-b＝1，则a²-b²＝（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 ${(- m)}^{7} \div {(- m)}^{2} = - m^{5}$ C、 ${(3 a^{2} b)}^{2} = 6 a^{4} b^{2}$ D、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$

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5. 下列式子运算正确的是（）

A、 $a^{8} \div a^{2} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$ D、 $3 a^{2} - 2 a^{2} = 1$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 $\frac{a^{8}}{a^{7}} = a^{4}$ C、 $(- 2 a b^{2})^{3} = - 8 a^{3} b^{6}$ D、 $(2 a - b)^{2} = 4 a^{2} + b^{2}$

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7. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{2} + x^{2} = x^{4}$ B、 $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ C、 $(- a^{2})^{3} = - a^{6}$ D、 $3 a^{2} \cdot 2 a^{3} = 6 a^{6}$

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8. 下列各式中，与（1－a）²相等的是（）

A、a²－1 B、a²－2a＋1 C、a²－2a－1 D、a²＋1

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9. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a^{6} - a^{2} = 2 a^{4} (a \neq 0)$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 $(a^{2})^{3} = a^{6}$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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10. 如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形 $(a > b)$ ，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ B、 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ C、 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ D、 $(a + 2 b) (a - b) = a^{2} + a b - 2 b^{2}$

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二、填空题

11. 已知 $a^{2} + b^{2} = 13$ ， $a b = 6$ ，则 $(a + b)^{2} =$ ．

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12. 计算 $(2 a - b)$ （） $= 4 a^{2} - b^{2}$

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13. 已知正方形的面积是 $(16 - 8 x + x^{2}) c m^{2} (x > 4)$ ，则正方形的周长是cm．

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14. 如图是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式．

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15. 若 ${(x - \frac{1}{3})}^{2}$ 展开后等于 $x^{2} - a x + \frac{1}{9}$ ，则 $a$ 的值为.

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三、解答题

16. 已知 $a + b = 5$ ， $a b = 2$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．

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17. 已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 8 b + 20$ ＝ $0$ ， $c$ ＝ $3 c m$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 试说明不论x,y取何值，代数式x²+y²+6x-4y+15的值总是正数．

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19. 如图 $①$ ，从边长为 $a$ 的正方形中剪掉一个边长为 $b$ 的正方形，然后将剩余部分拼成一个如图 $②$ 所示的长方形．

(1)、上述操作能验证的等式是； $($ 填序号 $)$
$① (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ； $② (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ ； $③ a (a + b)^{2} = a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2}$ ．

(2)、根据(1)中的等式，完成下列各题：
$①$ 已知 $x^{2} - 4 y^{2} = 8$ ， $x + 2 y = 4$ ，求 $x - 2 y$ 的值；

$②$ 计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) ⋯ (1 - \frac{1}{4 9^{2}}) (1 - \frac{1}{5 0^{2}})$ ．

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四、综合题

20. 某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了不正确，解答过程如下：
原式＝a²+2ab﹣（a²﹣b²）（第一步）

＝a²+2ab﹣a²﹣b²（第二步）

＝2ab﹣b² （第三步）

(1)、该同学解答过程从第步开始出错，不正确原因是；

(2)、写出此题正确的解答过程．

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21. 乘法公式的探究及应用：

(1)、如图，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；

(2)、如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；

(3)、比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用式子表达）；

(4)、运用你所得到的公式，计算下列式子：（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）

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22. 探索代数式a²﹣b²与代数式（a+b）（a﹣b）的关系.

(1)、当a=5，b=2时,分别计算两个代数式的值．

(2)、当a=7，b=﹣13时,分别计算两个代数式的值．

(3)、你发现了什么规律?

(4)、利用你发现的规律计算：889²﹣111² ．

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23. 我们知道，若两个有理数的积是1，则称这两个有理数互为倒数．同样的当两个实数 $(a + \sqrt{b})$ 与 $(a - \sqrt{b})$ 的积是1时，我们仍然称这两个实数互为倒数．

(1)、判断 $(4 + \sqrt{2})$ 与 $(4 - \sqrt{2})$ 是否互为倒数，并说明理由；

(2)、若实数 $(\sqrt{x} + \sqrt{y})$ 是 $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ 的倒数，求x和y之间的关系．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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