（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{2}{3} b$ B、 $\frac{1}{2} a + b$ C、a+ $\frac{1}{2}$ b D、 $\frac{3}{2}$ a

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2. 如图，过边长为2的等边 $△ A B C$ 的顶点C作直线 $l ⊥ B C$ ，然后作 $△ A B C$ 关于直线l对称的 $△ A^{'} B^{'} C$ ， P为线段 $A^{'} C$ 上一动点，连接 $A P$ ， $P B$ ，则 $A P + P B$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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3. 如图， $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形， $△ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ， D，E分别为 $B C$ ， $A C$ 的中点，P是 $A D$ 上的一个动点，则 $P E + P C$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、1 D、2

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4. 如图，等边 $△ A B C$ 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， $B P = A Q = 4$ ， $Q D = 3$ ，在BD上有一动点E，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、10 D、12

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， AD，CE是 $△ A B C$ 的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于 $B P + E P$ 最小值的是（）

A、AC B、BC C、AD D、CE

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6. 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD＝5，点F是AD边上的动点，则BF＋EF的最小值为（）

A、7.5 B、5 C、4 D、不能确定

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7. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y $= \sqrt{3}$ x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　）

A、6 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、6 $\sqrt{3}$

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8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为3，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E， F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）

A、7.5 B、8.5 C、10.5 D、13.5

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9. 如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= $α$ ，∠PQN= $β$ ，当MP+PQ+QN最小时，则 $β - α$ 的值为（）

A、10° B、20° C、40° D、60°

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10. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

11. 已知 $∠ A O B = 30 °$ ，点 $P$ 在 $∠ A O B$ 的内部， $O P = 4$ ， $O A$ 上有一点 $M$ ， $O B$ 上有一点 $N$ ，当 $△ M N P$ 的周长取最小值时， $△ M N P$ 的周长为．

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B C = 6$ ， D为 $A B$ 的中点，P为 $B C$ 上一动点，连接 $A P$ ， $D P$ ，则 $A P + D P$ 的最小值是.

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13. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为．

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14. 如图，在锐角三角形ABC中， $A B = 4 ， ∠ B A C = 60 °$ °， $∠ B A C$ 的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当 $B M + M N$ 取得最小值时， $A N =$ ．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，以BC为边在BC的右侧作等边 $△ B C D$ ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP ， BP ．当 $A P + B P$ 的值最小时， $∠ C B P$ 的度数为．

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三、解答题

16. 如图， $Δ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (1 ， 1)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (3 ， 4)$ ．

（1）请画出 $Δ A B C$ 关于x轴成轴对称的图形 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 的坐标；
（2）求 $Δ A B C$ 的面积；

（3）在y轴上找一点P，使 $P A + P B$ 的值最小，请画出点P的位置．

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17. 如图所示， $∠ ABC = 30 ° ， ∠ ABC$ 内有一点 $P$ ，点 $P$ 到点 $B$ 的距离为 $10 cm ，$ 在 $BA 、 BC$ 边上各取一点 $P_{1} 、 P_{2} ，$ 使 $Δ {PP}_{1} P_{2}$ 的周长最小并求出这个最小值．（保留作图痕迹并说明结果）

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18. 如图，∠AOB＝30°，角内有一点P，PO＝10cm，两边上各有一点Q，R(均不同于点O)，则△PQR的周长的最小值是多少？

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19. 某班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子。BO桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到空座位D上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短?

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四、综合题

20. 如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格点上，其中 $A (- 4 ， 5)$ ， $B (- 2 ， 1)$ ， $A (- 1 ， 3)$ .

(1)、作出 $△ A B C$ 关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在x轴上是否存在一点P，使 $P A + P B$ 的和最短？如果存在，请求出此时 $P A + P B$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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21.
( 1 )作出△ABC关于y独对称的图形△A₁B₁C₁：
( 2 )直接写出点C关于x铀对称C₂的坐标：；
( 3 )在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小。请在图中标出点P的位置．

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22. 如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．

(1)、利用网格线画出△ABC与△DEF的对称轴l；

(2)、结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小，并说明你的理由；

(3)、如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝．

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23. 如图，平面直角坐标系中， $A (- 2 ， 1)$ ， $B (- 3 ， 4)$ ， $C (- 1 ， 3)$ ，过点 $(1 ， 0)$ 作x轴的垂线l．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于直线l的轴对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标．

(2)、直线l上找一点Q，使得 $△ Q A C$ 的周长最短，在图中标记出点Q的位置．

(3)、在 $△ A B C$ 内有一点 $P (m ， n)$ ，则点P关于直线l的对称点 $P_{1}$ 的坐标为（，）（结果用含m，n的式子表示）．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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