（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题同步分层训练（提升卷）

试卷更新日期：2023-11-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， △ A B C$ 的面积为 $16 ， B C = 4$ ，分别以点 $A 、 B$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧分别交于 $E ， F$ ，连接 $E F ， D$ 为 $B C$ 的中点， $M$ 为直线 $E F$ 上任意一点．则 $B M + M D$ 长度的最小值为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $10$ D、 $12$

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2. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，四边形 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D$ ， $A D ⊥ A B$ ，点 $P$ 是腰 $A D$ 上的一个动点，要使 $P C + P B$ 最小，则点 $P$ 应该满足（）

A、 $P B = P C$ B、 $P A = P D$ C、 $∠ B P C = 90 °$ D、 $∠ A P B = ∠ D P C$

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4. 如图， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，点P是射线 $O C$ 上一点， $P M ⊥ O B$ 于点M ，点N是射线 $O A$ 上的一个动点．若 $P M = 5$ ，则 $P N$ 的长度不可能是（　　）

A、5 B、6 C、7 D、4

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5. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形，D，E分别是 $B C ， A C$ 边的中点，连接 $A D$ ，点P是 $A D$ 上一动点，若 $A D = 8$ ，则 $P C + P E$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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6. 如图，河道l的同侧有M ， N两个村庄，计划铺设管道将河水引至M ， N两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，直线 $y = x + 4$ 与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段 $A B$ ， $O B$ 的中点，P为 $O A$ 上一动点，当 $P C + P D$ 的值最小时，点P的坐标为（）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 2 ， 0)$ C、 $(- 3 ， 0)$ D、 $(- 4 ， 0)$

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8. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A D$ 是 $B C$ 边上的高，点E是 $A C$ 边的中点，点P是 $A D$ 上的一个动点，当 $P C + P E$ 最小时， $∠ C P E$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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9. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y＝x上的动点，A（2，0），B（4，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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10. 如图，在Rt△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是 $∠ B A C$ 的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC＋PQ的最小值是（）

A、2.4 B、4 C、4.8 D、5

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二、填空题

11. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 20$ ， $B C = 32$ ， $△ A B D$ 是等边三角形， $P$ 是 $∠ B A C$ 的平分线上一动点，连接 $P C$ ， $P D$ ，则 $P C + P D$ 的最小值为．

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12. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，D ， E分别为边 $B C$ ， $A B$ 的中点， $A D = 3$ ，且P为 $A D$ 上的动点，连接 $E P$ ， $B P$ ，则 $B P + E P$ 的最小值为．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = β$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $D C$ 上，当 $△ A E F$ 的周长最小时，用 $β$ 的代数式表示 $∠ E A F$ ，则 $∠ E A F =$ ．

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14. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是．

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15. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ ， $E$ 分别为边 $B C$ ， $A B$ 的中点， $A D = 6$ ，且 $P$ 为 $A D$ 上的动点，连接 $E P$ ， $B P$ ，则 $B P + E P$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 如图1，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上．点E为直线CD上的动点，连接BE ，作AF⊥BE于F ．点P为BC边上的动点，连接DP和PF ．

（Ⅰ）当点E为CD边的中点时，求△ABF的面积为；

（Ⅱ）当DP＋PF最短时，请在图2所示的网格中，用无刻度的直尺画出点P ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．

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17. 如图，一个牧童在小河的南2km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西 $\sqrt{15}$ km北3km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

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18. 如图，在锐角三角形ABC中，BC=4 $\sqrt{2}$ ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM+MN的最小值．

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19. 将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离AE=2公里，B到河岸的距离BF=3公里，EF=12公里，求将军最短需要走多远．

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四、综合题

20. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 在坐标系中A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
⑴在图中画出 $Δ A B C$ 关于x轴的对称图形 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并分别写出对应点A₁、B₁_、C₁的坐标.
⑵求 $S_{Δ A_{1} B_{1} C_{1}}$ .
⑶在y轴上是否存在一点p，使得AP+CP最小，若存在，请在图中描出点P，若不存在请说明理由.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (0 ， a)$ 在y轴正半轴上，点 $B (b ， 0)$ 在x轴正半轴上， $A B ⊥ A D$ 且 $A B = A D$ . $| a - 4 | + {(b - 3)}^{2} = 0$ .

(1)、求AB；

(2)、在y轴上是否存在一点P，使得 $P B + P D$ 最小？若存在，请求出 $P B + P D$ 的最小值；

(3)、在x轴上是否存在一点M，使 $△ M A B$ 是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标.

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22. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中的三个顶点都落在小正方形的顶点处.

(1)、画出与△ABC关于y轴对称的图形△A₁B₁C₁；

(2)、点A₁的坐标为；

(3)、在x轴上找一个点P，使PB+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）.

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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3 ， 1)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (6 ， 0)$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 与 $△ A B C$ 关于y轴对称，画出 $△ A B C$ ；

(2)、若在直线l上存在点P，使 $△ A B P$ 的周长最小，则点P的坐标为．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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