（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.3 等腰三角形同步分层训练（培优卷）

试卷更新日期：2023-11-06 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，G为EF的中点，若PE=3，PF=6，则S_△PED：S_△PDG=（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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2. 如图，AD是 $△ A B C$ 的角平分线，DE⊥AC，垂足为E， $B F ∥ A C$ 交ED的延长线于点F，若DE＝DF，AE＝2BF．下列四个结论：①BC平分∠ABF；② $E F ∥ A B$ ；③AD⊥BC；④AB＝3BF．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 如图，点P为定角 $∠ A O B$ 平分线上的一个定点，且 $∠ M P N$ 与 $∠ A O B$ 互补．若 $∠ M P N$ 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与 $O A$ 、 $O B$ 相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（）

A、 $O M + O N$ 的值不变 B、 $∠ P N M = ∠ P O B$ C、 $M N$ 的长不变 D、四边形 $P M O N$ 的面积不变

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4. 如图，已知 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 都是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上， $A D$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ ， $A C$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ， $A D$ 与 $C E$ 相交于点 $H$ ，则下列结论：① $△ A C D$ $≌ △ B C E$ ；② $B F = A H$ ；③ $∠ A G B = 6 0^{∘}$ ；④ $△ C F H$ 是等边三角形，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 80 °$ ， $A B$ 边的垂直平分线交 $A B$ 于点D，交 $B C$ 于点E， $A C$ 边的垂直平分线交 $A C$ 于点F，交 $B C$ 于点G，连接 $A E$ ， $A G$ ．则 $∠ E A G$ 的度数（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， △ A B C$ 的高BD、CE交于点 $P$ ，若 $P D = 6 ， P B = 10$ ，则AC的长为（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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7. 已知点 $P$ 在第一象限，若在 $x$ 轴上确定点 $Q$ 使得 $△ P O Q$ 为等腰三角形，则点 $Q$ 的坐标有（）种可能

A、3 B、4 C、1或3 D、2或4

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8. 如图，⊙O的半径为r，交×轴正半轴于点A，直线l垂直平分OA交⊙O于点P，PB⊥y轴于点B．今假设在点O，A处，分别有一质量为m₁ ， m₂的天体(m₁>m₂)；天体物理中把与O，A处于同一平面，坐标为（ $\frac{r}{2} \cdot \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2} r$ ）的点称为[O，A]系统的拉格朗日4号点，记为L₄ (若把卫星发射到L₄的位置，则卫星会处于相对静止的稳状态)．以下说法中错误的是（）

A、△AOP是等边三角形 B、L₄在线段BP上 C、∠OL₄A>60° D、若m₁恒定，则m₂越小，L₄离点P越近

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9. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A_{1}$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $B_{1}$ 在第一象限，且△ $O A_{1} B_{1}$ 是等边三角形.在射线 $O B_{1}$ 上取点 $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， $\dots$ ，分别以 $B_{1} B_{2}$ ， $B_{2} B_{3}$ ， $\dots$ 为边作等边三角形△ $B_{1} A_{2} B_{2}$ ， △ $B_{2} A_{3} B_{3}$ ， $\dots$ 使得 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $\dots$ 在同一直线上，该直线交 $y$ 轴于点 $C$ .若 $O A_{1} = 1$ ， $∠ O A_{1} C = 30 °$ ，则点 $B_{9}$ 的横坐标是（）

A、 $\frac{255}{2}$ B、 $\frac{511}{2}$ C、256 D、 $\frac{513}{2}$

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10. 如图， $A D$ 为 $∠ C A F$ 的角平分线， $B D = C D$ ，过 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $D P ⊥ A B$ 交 $B A$ 的延长线于 $F$ ，则下列结论：
① $△ C D E ≌ △ B D F$ ；② $C E = A B + A E$ ；③ $∠ B D C = ∠ B A C$ ；④ $∠ D A F = ∠ C B D$ ．

其中正确结论的序号有（）

A、①②③④ B、②③④ C、①②③ D、①②④

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二、填空题

11. 在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为．

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12. 如图，C是线段AB上的一点， $△ A C D$ 和 $△ B C E$ 都是等边三角形，AE交CD于M ， BD交CE于N ，交AE于 $O$ ，则① $D B = A E$ ；② $∠ A M C = ∠ D N C$ ；③ $∠ A O B = 60 °$ ；④ $D N = A M$ ；⑤ $△ C M N$ 是等边三角形．其中，正确的有．

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13. 如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝度.

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14. 如图，已知Rt△ABC ， AB＝AC ，将边AB绕着点A旋转，当点B落在边AB的垂直平分线上的点E时，∠AEC＝.

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15. 在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6．若点P在直线AC上（不与点A ， C重合），且∠ABP=30°，则CP的长为．

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三、解答题

16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 3 ∠ C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $B E ⊥ A D$ 于 $E$ ，若 $∠ B A C = 60 °$ ，求 $∠ A D B$ 的度数．

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17. 平面直角坐标系中，已知 $A (8 ， 0)$ ， $△ A O P$ 为等腰三角形且面积为 $16$ ，求满足条件的 $P$ 点坐标．

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18. 小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．

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19. 如图所示，AB∥CD，EF= EH，EH平分∠AEG，且∠EHF=15° ，求∠CFH的度数．

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四、综合题

20. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 均为等边三角形．

(1)、找出与 $△ D A C$ 全等的三角形（不需要说明理由）；

(2)、若 $∠ A D B = 82 °$ ，求 $∠ D B E$ 的度数．

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21. 在等边三角形 $A B C$ 中，D为射线 $C B$ 上一点，连接 $A D$ ，点B关于直线 $A D$ 的对称点为E，连接 $A E ， D E ， C E$ ．

(1)、如图1，点D在线段 $B C$ 上， $∠ B A D = 15 °$ ，求 $∠ B C E$ 的度数；

(2)、射线 $A D$ 与射线 $C E$ 的交于点F，过点D作 $D G ∥ A C$ 交射线 $A B$ 于点G，连接 $G E$ 交 $A D$ 于点H．
①如图2，点D在线段 $B C$ 上，求证： $△ A G H ≅ △ C D F$ ；
②点D在线段 $C B$ 延长线上，用等式表示线段 $A H ， F H$ 和 $C E$ 之间的数量关系，并说明理由．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C > 90 °$ ， $B D ⊥ A C$ ，交CA的延长线于点D，BE平分 $∠ A B D$ 交CD于点E，点F在BD延长线上， $B F = C E$ ，连接FE并延长交BC于点H．

(1)、求 $∠ C B E$ 的度数；

(2)、如图，延长BA到点G，使 $A G = A E$ ，连接EG．判断BH和EH的位置关系，并说明理由．

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23. 已知 $△ A B C$ 是等边三角形．

(1)、如图1，点D是 $A B$ 边的中点，点P为射线AC上一动点，当 $△ C D P$ 是轴对称图形时， $∠ A P D$ 的度数为；

(2)、如图2， $A E ∥ B C$ ，点D在 $A B$ 边上，点F在射线 $A E$ 上，且 $D C = D F$ ，作 $F G ⊥ A C$ 于G，当点D在 $A B$ 边上移动时，请同学们探究线段 $A D$ ， $A C$ ， $C G$ 之间有什么数量关系，并对结论加以证明；

(3)、如图3，点R在 $B C$ 延长线上，连接 $A R$ ， S为 $A R$ 上一点， $A S = B C$ ，连接 $B S$ 交 $A C$ 于T，若 $A T = 2 n$ ， $S R = n$ ，直接写出线段 $\frac{C T}{A R}$ 的值为．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

四、综合题

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