北京市某中学2023-2024学年九年级上学期第二次调研数学试卷

试卷更新日期：2023-11-06 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = 2 (x - 1)^{2} + 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， 5)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(2 ， 5)$ D、 $(- 1 ， 5)$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ ，下列变形正确的是（）

A、 ${(x + 1)}^{2} = - 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x + 1)}^{2} = - 4$ D、 ${(x + 1)}^{2} = 4$

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4. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠BOD等于（）

A、20° B、40° C、80° D、70°

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5. 如图是甲、乙两名同学五次数学测试成绩的折线图 $.$ 比较甲、乙两名同学的成绩，下列说法正确的是（）

A、甲同学平均分高，成绩波动较小 B、甲同学平均分高，成绩波动较大
C、乙同学平均分高，成绩波动较小 D、乙同学平均分高，成绩波动较大

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6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 9$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、9

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7. 如图， $A B$ 是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若 $∠ A B C = 50 °$ ，则 $∠ B D C$ 的度数为（）

A、 $90 °$ B、 $100 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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8. 如图，线段 $A B = 5$ ，动点 $P$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度从点 $A$ 出发，沿线段 $A B$ 运动至点 $B .$ 以点 $A$ 为圆心，线段 $A P$ 的长为半径作圆．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ ，点 $P$ ， $B$ 之间的距离为 $y$ ， $⊙ A$ 的面积为 $S .$ 则 $y$ 与 $t$ ， $S$ 与 $t$ 满足的函数关系分别是（）

A、正比例函数关系、一次函数关系 B、一次函数关系，正比例函数关系
C、一次函数关系，二次函数关系 D、正比例函数关系，二次函数关系

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二、填空题（本大题共9小题，共21.0分）

9. 若点 $A (- 2 ， 3)$ 与点 $B$ 关于原点对称，则点 $B$ 坐标为．

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10. 已知 $P_{1} (- 1 ， y_{1})$ 、 $P_{2} (2 ， y_{2})$ 是一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图象上的两点，则 $y_{1}$ $y_{2} . ($ 填“ $>$ ”或“ $<$ ”或“=” $)$

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11. 将抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 向下平移 $1$ 个单位长度，得到的抛物线是．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 为切点， $B C$ 与 $⊙ O$ 交于点 $D$ ，连接 $O D .$ 若 $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数为．

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13. 某学校有一个矩形小花园，花园长 $20$ 米，宽 $18$ 米，现要在花园中修建人行雨道，如图所示，阴影部分为雨道，其余部分种植花卉，同样宽度的雨道有 $3$ 条，其中两条与矩形的宽平行，另外一条与矩形的宽垂直，计划花卉种植面积共为 $306$ 平方米，设雨道的宽为 $x$ 米，根据题意可列方程为．

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14. 如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，连接 $O A$ ， $A B$ ，若 $∠ O A B = 35 °$ ，则 $∠ P =$ $° .$

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ，点 $M$ 为 $A B$ 的中点，连接 $O M .$ 若 $A C = 4$ ， $B D = 8$ ，则 $O M$ 的长为．

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16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下：
①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；
②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；
③各道工序所需时间如下表所示：
工序
A
B
C
D
E
F
G
所需时间/分钟
9
9
7
9
7
10
2
在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．

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17. 解方程： $x^{2} - 8 x - 9 = 0$ ．

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三、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.
已知：如图，点 $P$ 和 $⊙ O$ ．
求作：直线 $P A$ ，使得 $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ．
作法：①连接 $O P$ ，分别以点 $O$ 和点 $P$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} O P$ 的长为半径作弧，两弧交于 $C$ ， $D$ 两点；
②作直线 $C D$ ，交 $O P$ 于点 $B$ ；
③以点 $B$ 为圆心，以 $O B$ 长为半径作 $⊙ B$ ，与 $⊙ O$ 相交，其中一个交点为点 $A$ ；
④作直线 $P A$ ．
直线 $P A$ 即为所求作．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形 $($ 保留作图痕迹 $)$ ；

(2)、完成下面的证明．
证明：由作法可知，点 $B$ 为线段 $O P$ 的中点 $.$ 连接 $O A$ ．
$∵ O P$ 为 $⊙ B$ 的直径，
$∴ ∠ O A P =$ $° ($ $) ($ 填推理的依据 $)$ ．
$∴ O A ⊥ P A$ ．
$∵$ 点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，
$∵ P A$ 是 $⊙ O$ 的切线 $($ $) ($ 填推理的依据 $)$ ．

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1 = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若该方程的两个根均为负数，求a的取值范围．

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20.
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ O A B$ 的顶点坐标分别为 $O (0 ， 0)$ ， $A (5 ， 0)$ ， $B (4 ， - 3)$ ，将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $△ O A' B'$ ，点 $A$ 旋转后的对应点为 $A'$ ．

(1)、画出旋转后的图形 $△ O A' B'$ ，并写出点 $A'$ 的坐标；

(2)、求出 $△ O A' B'$ 的面积．

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21.
如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $A F / / D E$ ， $E F / / A D$ ．

(1)、连接 $D F$ ，若 $A B = 10$ ， $A C = 12$ ，求 $D F$ 的长．

(2)、求证：四边形 $A D E F$ 是菱形；

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22.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 的图象由函数 $y = \frac{1}{2} x$ 的图象平移得到，且经过点 $(- 2 ， 1)$ ．

(1)、求这个一次函数的解析式；

(2)、当 $x > 2$ 时，对于 $x$ 的每一个值，一次函数 $y = a x + b$ 的值小于函数 $y = x + m$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

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23.
如图在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，点 $O$ 在 $A B$ 上，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径的圆经过点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C E = 2$ ， $C D = 4$ ，求半径的长．

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24. 某公园内人工喷泉有一个竖直的喷水枪，喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪的水平距离为 $x / m$ ，距地面的竖直高度为 $y / m$ ，获得数据如表：
     $x / m$
     $0.0$
     $1.0$
     $2.0$
     $3.0$
     $4.5$
     $y / m$
     $1.6$
     $3.7$
     $4.4$
     $3.7$
     $0.0$
小景根据学习函数的经验，对函数随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小景的探究过程，请补充完整：

(1)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象；

(2)、水流的最高点距喷水枪的水平距离为 $m$ ；

(3)、结合函数图象，解决问题：
公园准备在距喷水枪水平距离为 $3.5 m$ 处加装一个石柱，使该喷水枪喷出的水流刚好落在石柱顶端，则石柱的高度约为 $m .$

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25. 某校开展了“学习二十大”的知识竞赛 $($ 百分制 $)$ ，七、八年级学生参加了本次活动 $.$ 为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了 $30$ 名学生的成绩，并对数据 $($ 成绩 $)$ 进行了整理、描述和分析 $.$ 下面给出了部分信息．
$a .$ 七年级成绩的频数分布直方图如下
$($ 数据分成五组： $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100)$ ：

$b$ ，七年级成绩在 $80 < x < 90$ 的数据如下 $($ 单位：分 $)$ ：
$80 ㅤ 81 ㅤ 85 ㅤ 85 ㅤ 85 ㅤ 85 ㅤ 85 ㅤ 85 ㅤ 85 ㅤ 85 ㅤ 88 ㅤ 89$
$c .$ 七、八年级各抽取的 $30$ 名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如表：
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
     $80.4$
     $m$
     $n$
     $141.04$
八年级
     $80.4$
     $83$
     $84$
     $86.10$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中 $m =$   ， $n =$   ；

(2)、下列推断合理的是；
$①$ 样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小；
$②$ 若八年级小明同学的成绩是 $84$ 分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩．

(3)、竞赛成绩 $80$ 分及以上记为优秀，该校七年级有 $600$ 名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 a x - 3$ ．

(1)、求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）

(2)、 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 为该抛物线上的两点，若 $x_{1} = 1 - 2 a$ ， $x_{2} = a + 1$ ，且 $y_{1} > y_{2}$ ，求a的取值范围．

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27. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中，点 $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，连接 $A P$ ， $B P$ ， $C P$ ，将线段 $A P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $A P'$ ，连接 $P P'$ ， $B P'$ ．

(1)、用等式表示 $B P'$ 与 $C P$ 的数量关系，并证明；

(2)、当 $∠ B P C = 120 °$ 时，直接写出 $∠ P' B P$ 的度数为；

(3)、若 $M$ 为 $B C$ 的中点，连接 $P M$ ，用等式表示 $P M$ 与 $A P$ 的数量关系，并证明．

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28.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，图形 $W$ 上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为 $d .$ 对于点 $P$ 和图形 $W$ 给出如下定义：点 $Q$ 是图形 $W$ 上任意一点，若 $P$ ， $Q$ 两点间的距离有最小值，且最小值恰好为 $d$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 的“关联点”

(1)、如图 $1$ ，图形 $W$ 是矩形 $A O B C$ ，其中点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 3)$ ，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ，则 $d =$ ，在点 $P_{1} (- 1 ， 0)$ ， $P_{2} (2 ， 8)$ ， $P_{3} (3 ， 1)$ ， $P_{4} (- \sqrt{21} ， - 2)$ 中，矩形 $A O B C$ 的“关联点”是．

(2)、如图 $2$ ，图形 $W$ 是中心在原点的正方形 $D E F G$ ，其中 $D$ 点的坐标为 $(1 ， 1) .$ 若直线 $y = x + b$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为正方形 $D E F G$ 的“关联点” $.$ 求 $b$ 的取值范围；

(3)、已知点 $M (1 ， 0) ， N (0 ， \sqrt{3})$ ，图形 $W$ 是以 $T (t ， 0)$ 为圆心， $1$ 为半径的 $⊙ T .$ 若线段 $M N$ 上存在点 $P$ ，使点 $P$ 为 $⊙ T$ 的“关联点“，直接写出 $t$ 的取值范围．

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$x / m$	$0.0$	$1.0$	$2.0$	$3.0$	$4.5$
$y / m$	$1.6$	$3.7$	$4.4$	$3.7$	$0.0$

年级	平均数	中位数	众数	方差
七年级	$80.4$	$m$	$n$	$141.04$
八年级	$80.4$	$83$	$84$	$86.10$

工序	A	B	C	D	E	F	G
所需时间/分钟	9	9	7	9	7	10	2