重庆市潼南区六校2023-2024学年九年级上学期第一次联考数学试题

试卷更新日期：2023-11-06 类型：月考试卷

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一、单选题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）

1. 4的相反数是（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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2. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - \frac{1}{x} = 2023$ B、 $3 x^{2} - 5 x = 0$ C、 $y - 3 x = 0$ D、 $x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

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3. 已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的一个根，则 $2023 - m^{2} + 4 m$ 的值是（）

A、 $- 2023$ B、2023 C、2022 D、2024

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4. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表：
x
…
          $- 2$
          $- 1$
0
1
2
…
y
…
5
0
          $- 3$
          $- 4$
          $- 3$
…
下列说法中正确的是（）

A、函数图象开口向下 B、函数图象与x轴的交点坐标是 $(- 3 ， 0) 、 (- 1 ， 0)$ C、当 $x > 0$ 时，y随x的增大而增大 D、顶点坐标是 $(1 ， - 4)$

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5. 估计 $\sqrt{2} (2 \sqrt{2} + \sqrt{5})$ 的值应在（）之间

A、9和10 B、8和9 C、7和8 D、6和7

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6. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = a x^{2} + b x$ 与 $y = - b x + a$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知二次函数 $y = 2 (x - 3)^{2} + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、其图像的开口向下 B、其图像的对称轴为直线 $x = - 3$ C、其图像顶点坐标为 $(3 ， - 1)$ D、当 $x < 3$ 时， $y$ 随的 $x$ 增大而减小

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8. 我市某家快递公司，今年4月份完成投递的快递件数为2万件，4至6月份完成投递的快递件数总和为7.28万件，若该快递公司由4月份到6月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（）

A、 $2 (1 + x) = 7.28$ B、 $2 (1 + 2 x) = 7.28$ C、 $2 (1 + x)^{2} = 7.28$ D、 $2 + 2 (1 + x) + 2 (1 + x)^{2} = 7.28$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 ° ， ∠ C = 45 ° ， A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D ， ∠ A B C$ 的平分线交线段 $A D$ 于点 $E$ ，若 $A C = 6$ ，则 $△ B D E$ 的周长为（）

A、 $3 \sqrt{3} + \sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2} + \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{6}$

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10. 有n个依次排列的整式，第一个整式为 $9 x^{2}$ ，第二个整式为 $9 x^{2} + 6 x + 1$ ，第二个整式减去第一个整式的差记为 $a_{1}$ ，将 $a_{1} + 2$ 记为 $a_{2}$ ，将第二个整式加上 $a_{2}$ ，作为第三个整式，将 $a_{2} + 2$ 记为 $a_{3}$ ，将第三个整式与 $a_{3}$ 相加记为第四个整式，以此类推，以下结论正确的个数是（）
① $a_{3} = 6 x + 5$ ②当 $x = 2$ 时，第四个整式的值为81③若第三个整式与第四个整式的和为25，则 $x = - 2$ ④第2023个整式为 $(3 x + 2022)^{2}$

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）

11. 计算 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} - | \sqrt{3} - 3 | =$

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12. 关于x的一元二次方程 $(a - 1) x^{2} + x + a^{2} - 1 = 0$ 的根是 $x = 0$ ，则 $a$ 的值为

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13. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数为

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 图像的对称轴为 $x = 1$ ，且经过点 $(- 1 ， y_{1}) ， (2 ， y_{2})$ 两点，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“>”“<”或“=”）

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15. 某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，请列出方程为

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16. 关于 $x$ 的二次函数 $y = (a - 2) x^{2} + 5 x - \frac{5}{4}$ 与 $x$ 轴有交点，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y - 3}{y - 2} + 1 = \frac{3 y - 1}{2 - y}$ 的解为整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是

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17. 已知 $R t △ A B C$ 中，点 $D$ 为斜边 $A B$ 的中点，连接 $C D$ ，将 $△ D C B$ 沿 $D C$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $E$ 的位置， $D E$ 交 $A C$ 于 $F$ ，连接 $A E$ ．若 $A C = 4 ， B C = 3$ ，则 $A E$ 的长为

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18. 如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是若三位数 $\bar{a b c}$ 是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字 $a$ 使得关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 5) x^{2} + 2 a x + a - 8 = 0$ 有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是

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三、解答题：（本大题共8个小题，19小题8分，20-26每小题10分）

19. 按要求解方程

(1)、 $(x + 3)^{2} - 9 = 0$ （用适当方法）

(2)、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ （用配方法）

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20. 为了更好的普及垃圾分类知识，倡导低碳生活的理念，更好地推进垃圾分类工作，梓潼中学举办了垃圾分类知识普及讲座，为了了解初一、初二两个年级对垃圾分类知识的掌握情况分别从初一、初二两个年级中随机各抽取了20名同学进行垃圾分类知识测试（测试成绩 $x \geq 80$ 为合格），进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
初一测试成绩的扇形统计图如下（成绩分为A、B、C、D、E、F六组），其中初一测试成绩在 $80 \leq x < 85$ 这一组的是： $80 ， 81 ， 81 ， 82 ， 82 ， 83 ， 83 ， 84 ， 84$ ；
初一、初二测试成绩的平均数、中位数、众数如下：

年级
平均数
中位数
众数
初一
83
$a$
88
初二
83
87
89
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中 $a$ 的值为

(2)、如果该校初一的740名同学都参加测试，那么估计有多少名初一学生测试成绩合格？

(3)、此次测试中，对垃圾分类知识的掌握情况更好地是哪个年级？请说明理由

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21. $B D$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线， $A F$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $C D$ 于点 $F$

(1)、请用尺规作 $∠ B C D$ 的平分线 $C E$ ，交 $A B$ 于点 $E$ （只保留作图痕迹，不写结论，不写作法）

(2)、根据图形，证明四边形 $A E C F$ 为平行四边形，请完成下面的填空
证明： $∵$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
      $∴ A B / / C D ， ∠ B A D = ∠ B C D$
      $∴ ∠ E C F =$     ▲        （两直线平行，内错角相等）
      $∵ A E$ 平分 $∠ B A D ， C F$ 平分 $∠ B C D$
      $∴ ∠ E A F = \frac{1}{2}$     ▲         ， $∠ E C F = \frac{1}{2}$     ▲
      $∴ ∠ E A F = ∠ E C F ∴ ∠ E A F =$     ▲         $∴ A F / /$     ▲
又 $∵$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
      $∴ C E / / E F$ $∴$ 四边形 $A E C F$ 是平行四边形    ▲        （填推理的依据）

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22. 如图1， $△ A B C$ 是等边三角形， $A B = 6$ ，点 $D$ 从点 $B$ 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着 $B A$ 运动到 $A$ 点停止，作 $D E ⊥ A B$ 交直线 $A C$ 于点 $E$ ，设 $A D + C E = y$ ，点 $D$ 的运动时间为 $x$
图1

(1)、直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式，并写出对应 $x$ 的取值范围

(2)、在图2的平面直角坐标系中画出 $y$ 的图像，并写出 $y$ 的一条性质

图2

(3)、结合图像直接写出 $y = 5$ 时 $x$ 的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）

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23. 中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．

(1)、求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．

(2)、为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了 $\frac{1}{3}$ ，每个乙种月饼的售价便宜了 $\frac{m}{5} (m \neq 0)$ 元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了 $\frac{15}{2} m$ 个，但甲种月饼和乙种月饼的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了 $(400 + 2 m)$ 元，求 $m$ 的值．

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24. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区 $C$ 游玩，到达 $A$ 地后，导航显示车辆应沿北偏西 $45 °$ 方向行驶4千米至 $B$ 地，再沿北偏东 $60 °$ 方向行驶一段距离到达风景区 $C$ ，小敏发现风景区 $C$ 在 $A$ 地的北偏东 $15 °$ 方向．

(1)、求 $∠ C$ 的度数

(2)、求 $A 、 C$ 两地的距离（如果运算结果有根号，请保留根号）

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25. 若直线 $y = x - 5$ 与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像经过点 $A$ ，点 $B$ ，且与 $x$ 轴交于点 $C (- 1 ， 0)$

(1)、求二次函数的解析式

(2)、若点 $P$ 为直线 $A B$ 下方抛物线上一点，过点 $P$ 作直线 $A B$ 的垂线，垂足为 $E$ ，作 $P F / / y$ 轴交直线 $A B$ 于点 $F$ ，求 $△ P E F$ 周长的最大值及此时点 $P$ 的坐标

(3)、将抛物线沿 $x$ 轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线 $y^{'} ， Q$ 是新抛物线 $y^{'}$ 与 $x$ 轴的交点（靠近 $y$ 轴）， $N$ 是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点 $M$ ，使得以 $M$ 、 $N$ 、 $B 、 Q$ 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点 $M$ 的坐标，并写出求解点 $M$ 坐标的其中一种情况的过程．

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26. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C ， D 、 E$ 分别为 $A B$ 边上的两动点，

(1)、如图1，过点 $D$ 作 $D K ⊥ C E$ 分别交 $C E 、 C B$ 于点 $H 、 K$ ，当 $C D = D K$ 时，求证： $C D = C E$

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $B N ⊥ C B$ 交 $C E$ 的延长线于点 $N$ ， $F$ 是 $A C$ 边上的一动点，且 $A F = B N$ ，
以 $C F$ 为斜边向左作等腰 $R t △ C M F$ ，连接 $A M$ ，求证： $\sqrt{2} A M = C N$

(3)、如图3，以 $C D$ 为边向左作等边 $△ C D P$ ，连接 $B P$ ，当 $A C = 2 \sqrt{6}$ 时，且点 $D$ 在直线 $A B$ 上运动时，直接写出 $B P$ 的最小值．

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x	…	$- 2$	$- 1$	0	1	2	…
y	…	5	0	$- 3$	$- 4$	$- 3$	…

年级	平均数	中位数	众数
初一	83	$a$	88
初二	83	87	89