北京市朝阳区重点中学2023-2024学年八年级上学期数学月考考试试卷（9月）

试卷更新日期：2023-11-06 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，用三角板作 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 十二边形的内角和为（）

A、180° B、360° C、1800° D、无法计算

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3. 如图， $A B$ 和 $C D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 5 = ∠ 1 + ∠ 3$ C、 $∠ 4 = ∠ 5$ D、 $∠ 5 < ∠ 2$

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4. 如图，已知 $A B = A D$ ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C$ ≌ $△ A D C$ 的是（）

A、 $C B = C D$ B、 $∠ B A C = ∠ D A C$ C、 $∠ B = ∠ D = 90 °$ D、 $∠ B C A = ∠ D C A$

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5. 下列判定两直角三角形全等的方法，错误的是(　　)

A、两条直角边对应相等 B、斜边和一直角边对应相等 C、两个锐角对应相等 D、斜边和一锐角对应相等

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6. 根据下列已知条件，能画出唯一的 $△ A B C$ 的是（）

A、 $∠ A = 60 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A B = 4$ B、 $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ A = 60 °$ C、 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $C A = 8$ D、 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A = 60 °$

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7. 下列是真命题的是（）

A、对顶角相等 B、两边和一角对应相等的两个三角形全等
C、三角形的外角大于内角 D、两条直线被第三条直线所截，同位角相等

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8. 如图， $∠ A O B < 90 °$ ，点 $M$ 在 $O B$ 上，且 $O M = 6$ ，点 $M$ 到射线 $O A$ 的距离为 $a$ ，点 $P$ 在射线 $O A$ 上， $M P = x$ ．若 $△ O M P$ 的形状，大小是唯一确定的，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x = a$ 或 $x \geq 6$ B、 $x \geq 6$ C、 $x = 6$ D、 $x = 6$ 或 $x > a$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 如图所示的网格是正方形网格，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在格点上，则 $S_{△ A B C}$ $S_{△ A C D} ($ 填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“=” $)$ ．

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10. 赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条 $($ 即图中的 $A B$ ， $C D$ 两根木条 $)$ ，这其中的数学原理．

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11. 如图是由射线 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 、 $D A$ 组成的平面图形，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 =$ °．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ 1 = 100 °$ ， $∠ C = 80 °$ ， $∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ 3$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C .$ 则 $∠ 4$ 的度数为．

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13. 如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，且 $A B = 5 c m$ ， $A C = 3 c m$ ，则 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的周长之差为， $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 的面积之差为．

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14. 如图，已知 $O B = O C$ ，若以“ $S A S$ ”为依据证明 $△ A O B$ ≌ $△ D O C$ ，还需要添加的条件是．

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15. 甲乙两位同学进行一种数学游戏 $.$ 游戏规则是：两人轮流对 $△ A B C$ 及 $△ A' B' C'$ 对应的边或角添加等量条件 $($ 点 $A'$ ， $B'$ ， $C'$ 分别是点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对应点 $) .$ 某轮添加条件后，若能判定 $△ A B C$ 与 $△ A' B' C'$ 全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．
轮次
行动者
添加条件
          $1$
甲
          $A B = A' B' = 2 c m$
          $2$
乙
          $B C = B' C' = 4 c m$
          $3$
甲
          $?$
上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 $($ 填写所有正确结论的序号 $)$ ．
$①$ 若第 $3$ 轮甲添加 $A C = A' C' = 5 c m$ ，则乙获胜；
$②$ 若甲想获胜，第 $3$ 轮可以添加条件 $∠ C = ∠ C' = 30 °$ ；
$③$ 若乙想获胜，可修改第 $2$ 轮添加条件为 $∠ A = ∠ A' = 90 °$ ．

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16. 如图，平面中两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，对于平面上任意一点 $M$ ，若点 $M$ 到直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的距离分别是 $p c m$ 、 $q c m$ ，则称有序实数对 $(p ， q)$ 是点 $M$ 的“距离坐标” $.$ 特别地，当点在直线上时，定义点到直线的距离为 $0 .$ 下列说法：
$①$ “距离坐标”是 $(0 ， 0)$ 的点只有点 $O$ ；
$②$ “距离坐标”是 $(0 ， 1)$ 的点只有 $1$ 个；
$③$ “距离坐标”是 $(2 ， 2)$ 的点共有 $4$ 个；
正确的有 $($ 填序号 $)$ ．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知：如图，点 $B$ 是线段 $A C$ 上一点， $A D / / B E$ ， $A B = B E$ ， $∠ D = ∠ C .$ 求证： $B D = E C$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 70 °$ ， $∠ A C B = 60 °$ ， $∠ A C B$ 的平分线交 $A B$ 于点 $D$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ A B C$ 的平分线 $B O$ 交 $C D$ 于点 $O . ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$

(2)、求 $∠ B O D$ 的度数．

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19. 如图，在 $△ A B E$ 中， $C$ ， $D$ 是边 $B E$ 上的两点，有下面四个关系式：① $A B = A E$ ， $② B C = D E$ ， ③ $A C = A D$ ， ④ $∠ B A C = ∠ E A D$ ．
请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．
已知：
求证：
证明：

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20. 在证明等腰三角形的判定定理时，甲、乙、丙三位同学各添加一条辅助线，方法如图所示

.

你能用哪位同学添加辅助线的方法完成证明，请选择一种方法补全证明过程．

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $($ 简写成“等角对等边” $)$ 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C .$ 求证： $A B = A C$ ．
甲的方法：证明：作 $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ．	乙的方法：证明：作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ．	丙的方法：证明：取 $B C$ 中点 $F$ ，连接 $A F$ ．

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21. 如图，已知 $A E ⊥ A B$ ， $A F ⊥ A C$ ， $A E = A B$ ， $A F = A C$ ， $B F$ 与 $C E$ 相交于点 $M$ ．

(1)、求证： $E C = B F$ ；

(2)、求证： $E C ⊥ B F$ ．

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22. 课上，老师提出了这样一个问题：
已知：如图， $A D = A E$ ，请你再添加一个条件，使得 $△ A D B$ ≌ $△ A E C$ ．

(1)、同学们认为可以添加的条件并不唯一，你添加的条件是，并完成证明

(2)、若添加的条件是 $O E = O D$ ，证明： $△ A D B$ ≌ $△ A E C$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $B C$ 边上，连接 $A D$ ， $∠ A D B = ∠ A B D . B E$ 是 $△ A B D$ 中 $A D$ 边上的高线，延长 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F .$ 设 $∠ A B C = α$ ， $∠ A C B = β$ ．

(1)、当 $α = 70 °$ 时， $∠ A B F$ 的度数为；

(2)、求 $∠ A F B$ 的度数 $($ 用含 $α$ 、 $β$ 的式子表示 $)$ ；

(3)、若 $∠ A F B = ∠ B A F$ ，求 $β$ 的值．

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24. 【提出问题】
我们已经知道了三角形全等的判定方法 $(S A S ， A S A ， A A S ， S S S)$ 和直角三角形全等的判定方法 $(H L)$ ，请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形 $(S S A)$ ”的情形进行探究．
【探索研究】
已知：在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $A B = D E$ ， $A C = D F$ ， $∠ B = ∠ E$ ．

(1)、如图 $①$ ，当 $∠ B = ∠ E = 90 °$ 时，根据，可知 $R t △ A B C$ ≌ $R t △ D E F$ ；

(2)、如图 $②$ ，当 $∠ B = ∠ E < 90 °$ 时，请用直尺和圆规作作出 $△ D E F$ ，通过作图，可知 $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 全等． $($ 填“一定”或“不一定” $)$

(3)、如图 $③$ ，当 $∠ B = ∠ E > 90 °$ 时， $△ A B C$ 与 $△ D E F$ 是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．

(4)、【归纳总结】
如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是
时，这两个三角形一定全等． $($ 填序号 $)$
$①$ 锐角； $②$ 直角； $③$ 钝角．

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25. 阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在 $△ A B C$ 中， $A B = 7$ ， $A C = 3$ ，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．

(1)、小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法 $($ 如图 $1)$ ：
$①$ 延长 $A D$ 到 $Q$ 使得 $D Q = A D$ ；
$②$ 再连接 $B Q$ ，把 $A B$ 、 $A C$ 、 $2 A D$ 集中在 $△ A B Q$ 中； $③$ 利用三角形的三边关系可得 $4 < A Q < 10$ ，则 $A D$ 的取值范围是▲ ．

(2)、感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
请写出图 $1$ 中 $A C$ 与 $B Q$ 的位置关系并证明；

(3)、思考：已知，如图 $2$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = A E$ ， $A C = A F$ ， $∠ B A E = ∠ F A C = 90 °$ ，试探究线段 $A D$ 与 $E F$ 的数量和位置关系，并加以证明．

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等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 $($ 简写成“等角对等边” $)$ 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = ∠ C .$ 求证： $A B = A C$ ．
甲的方法：证明：作 $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ．	乙的方法：证明：作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ．	丙的方法：证明：取 $B C$ 中点 $F$ ，连接 $A F$ ．

轮次	行动者	添加条件
$1$	甲	$A B = A' B' = 2 c m$
$2$	乙	$B C = B' C' = 4 c m$
$3$	甲	$?$