【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之直角三角形的性质

试卷更新日期：2023-11-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $∠ B = 36 °$ ，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）

A、120° B、108° C、72° D、36°

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2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， ∠A=39° ，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AB于点D，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} D B$ ，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，求∠BCF的度数（　　）

A、38° B、39° C、40° D、51°

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3. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，D，C是 $⊙ O$ 上的点， $∠ A D C = 115 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $30 °$ C、 $35 °$ D、 $40 °$

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $B C = 6$ ．点F是 $A B$ 中点，连接 $C F$ ，把线段 $C F$ 沿射线 $B C$ 方向平移到 $D E$ ，点D在 $A C$ 上．则线段 $C F$ 在平移过程中扫过区域形成的四边形 $C F D E$ 的周长和面积分别是（）

A、16，6 B、18，18 C、16，12 D、12，16

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O ， A C ， B D$ 为对角线， $B D$ 经过圆心 $O$ ．若 $∠ B A C = 40 °$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $60 °$ D、 $70 °$

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6. 矩形 $A B C D$ 和直角三角形 $E F G$ 的位置如图所示，点 $A$ 在EG上，点 $D$ 在EF上.若 $∠ 2 = 55 °$ ，则 $∠ 1$ 等于（）

A、 $155 °$ B、 $135 °$ C、 $125 °$ D、 $105 °$

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7. 一块直角三角板和一把直尺如图摆放，直尺的一边 $D E$ 经过三角板的顶点 $A$ ，若 $D E ∥ C B$ ，则 $∠ D A B$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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8. 如图， $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线， $∠ B C E = 32 °$ ，则 $∠ D =$ （）

A、 $32 °$ B、 $29 °$ C、 $26 °$ D、 $28 °$

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9. 如图，将一块含有45°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1=25°，则∠2为（）

A、15° B、20° C、25° D、30°

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10. 如图，AB是圆O的直径，C，D是AB上的两点，连接AC，BD相交于点E，若∠BEC＝56°，那么∠DOC的度数为（）

A、28° B、56° C、64° D、68°

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二、填空题

11. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $B E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ C D$ ，垂足分别为 $B$ ， $D$ ，若 $A B = 6 c m$ ，则 $E F =$ $c m$ ．

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12. 如图所示是地球截面图，其中 $A B$ ， $E F$ 分别表示南回归线和北回归线， $C D$ 表示赤道，点 $P$ 表示太原市的位置．现已知地球南回归线的纬度是南纬 $23 ° 2 6^{'} (∠ B O D = 23 ° 2 6^{'})$ ，太原市的纬度是北纬 $37 ° 3 2^{'} (∠ P O D = 37 ° 3 2^{'})$ ，而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线 $M B$ 的延长线经过地心 $O$ ），则太原市冬至正午时，太阳光线与地面水平线 $P Q$ 的夹角 $α$ 的度数是．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 上的高，E是 $A B$ 边的中点，连接 $D E$ ，若 $A B = B C = 6$ ， $∠ B =60 °$ ，则 $D E =$ ．

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14. 如图，在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为米 (结果保留根号)．

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，把 $R t △ A B C$ 沿 $A B$ 翻折得到 $R t △ A B D$ ，过点B作 $B E ⊥ B C$ ，交 $A D$ 于点E，点F是线段 $B E$ 上一点，且 $t a n ∠ A D F = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．则下列结论中：① $A E = B E$ ；② $△ B E D ∽ △ A B C$ ；③ $B D^{2} = A D \cdot D E$ ；④ $A F = \frac{2 \sqrt{13}}{3}$ ．正确的有（把所有正确答案的序号都填上）

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三、作图题

16. 图 $①$ 、图 $②$ 、图 $③$ 均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图：

(1)、如图 $①$ ，在 $A B$ 上画一点 $E$ ，连结 $D E$ ，使 $∠ A D E = ∠ C$ ；

(2)、如图 $②$ ，在 $A B$ 上画一点 $F$ ，连结 $D F$ ，使 $∠ A F D = ∠ C$ ；

(3)、如图 $③$ ，在 $A B$ 上画一点 $M$ ，连结 $C M$ ， $D M$ ，使 $∠ A M D = ∠ B M C$ ．

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17. 如图，已知 $△ A B C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$ ；

(2)、求证： $∠ C = ∠ B A D$ ．

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18. 如图①、图②均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1， $▱ A B C D$ 的顶点均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．

(1)、在图①中的线段BC上找一点E ，连接AE ，使 $△ A B E$ 为等腰三角形．

(2)、在图②中的线段AD上找一点F ，连接BF ，使 $△ A B F$ 为直角三角形．

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19. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $△ A B C$ 的顶点A，B，C均落在格点上．
①线段 $A C$ 的长等于 ▲ ；

②在射线 $B C$ 上有两点P，Q，满足 $A P ⊥ B C$ 且 $∠ A Q C = ∠ B A P$ ，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，点Q，并简要说明点P，点Q的位置是如何找到的（不要求证明）．

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四、解答题

20. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $A D$ 上， $A E = A F$ ，连接 $E F$ ，且 $A C ⊥ E F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、连接 $O E$ ，若点 $E$ 是 $A B$ 的中点， $O E = \sqrt{5}$ ， $O A = \frac{1}{2} O B$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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21. 如图，某海域有一小岛P，一艘轮船在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当轮船自西向东航行12海里到达B处，在B处测得小岛P位于北偏东30°方向上，若以点P为圆心，半径为10海里的圆形海域内有暗礁，那么轮船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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22. 享有“安徽第一楼”之称的安徽省国际金融大厦，它由高度不同的两座楼组成，如图，从左楼顶C处测得右楼楼顶A处的仰角为60°，在左楼楼底D处测得A处的仰角为75°，已知左楼CD高126米，请你利用已知数据估算右楼AB的高．（结果精确到1米， $\sqrt{3}$ ≈1.7）

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五、综合题

23. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A D$ 是斜边 $B C$ 上的高．

(1)、证明： $△ A B D ∽ △ C B A$ ；

(2)、若 $A B = 6 ， B C = 10$ ，求 $B D$ 的长．

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24. 已知 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $A B$ 与 $⊙ O$ 相交于点D，过点D作 $⊙ O$ 的切线，交 $B C$ 于点E．

(1)、如图①，线段 $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径，若 $∠ B D E = 25 °$ ，求 $∠ C$ 的大小；

(2)、如图②， $A C$ 过圆心O，线段 $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点F，若 $∠ B D E = 15 °$ ，且 $A C = 6$ ，求圆的半径和 $B E$ 的长．

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25. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，联结AD，交CH于点E，且CE＝CD．

(1)、求证：△ACE∽△ABD；

(2)、求证：△ACD的面积是△ACE的面积与△ABD的面积的比例中项．

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