【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之切线的性质

试卷更新日期：2023-11-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图， $A B$ 、 $A C$ 、 $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点分别是 $P$ 、 $C$ 、 $D .$ 若 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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2. 如图， $P A 、 P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于A、B两点，连接 $A O 、 B O$ ，若 $∠ A P B = 70 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $105 °$

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3. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ，以 $A D$ 的中点 $O$ 为圆心，以 $O A$ 长为半径画弧与 $B C$ 相切于点 $E$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $8 - 4 π$ B、 $16 - 4 π$ C、 $32 - 4 π$ D、 $32 - 8 π$

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4. 如图， $P A$ 、 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点分别是A、B，点E在 $⊙ O$ 上， $∠ A E B = 60 °$ ，那么 $∠ P$ 等于（）

A、150° B、120° C、90° D、60°

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5. 如图，PA，PB是 $⊙ O$ 的切线，A、B为切点，若 $∠ A O B = 128 °$ ，则 $∠ P$ 的度数为（）

A、 $32 °$ B、 $52 °$ C、 $64 °$ D、 $72 °$

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6. 如图，AB是 $⊙ O$ 的切线，切点为点A，连接OB交 $⊙ O$ 于点C，过点A作 $A D ∥ O B$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接CD，若 $∠ B = 32 °$ ，则 $∠ O C D$ 的度数为（）

A、32° B、29° C、28° D、26°

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 上的一点，以 $A D$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点 $E$ ，连接 $A E$ 、 $D E$ ，若 $∠ B = 30 °$ ， $A C = 3$ ，则 $B D$ 的长度是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 如图， $A B$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $A O$ 与 $⊙ O$ 相交于点 $C$ ，若 $A B = 8$ ， $A C = 4$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $8$

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9. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点 $C$ 的切线与 $A B$ 的延长线交于点 $P$ ，若 $A C = P C$ ，则 $∠ P$ 的度数是（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $D$ 在斜边 $A B$ 上，以 $A D$ 为直径的半圆 $O$ 与 $B C$ 相切于点 $E$ ，与 $A C$ 相交于点 $F$ ，连接 $D E$ ．若 $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，则 $D E$ 的长是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{10}}{9}$ B、 $\frac{8 \sqrt{10}}{9}$ C、 $\frac{80}{27}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

11. 如图，PA ， PB分别与半径为3的⊙O相切于点A ， B ，直线CD分别交PA ， PB于点C ， D ，并切⊙O于点E ，当PO＝6时，△PCD的周长为．

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12. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线，点B为切点，线段 $A C$ 与 $⊙ O$ 交于点D ．点E是 $\overset{⌢}{B D}$ 上的动点（不与点B、D重合）．若 $∠ C = 50 °$ ，则 $∠ B O E$ 的度数可能是 $°$ ．

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13. 把光盘、含60°角的三角板和直尺如图摆放，光盘与直尺和三角板的一边相切，若 $A B = 2$ ，则光盘的直径是．

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14. 如图， $O A$ 是 $⊙ O$ 的一条半径，点P是 $O A$ 延长线上一点，过点P作 $⊙ O$ 的切线 $P B$ ，点B为切点．若 $P A = 1$ ， $P B = 2$ ，则 $s i n ∠ O P B =$ ．

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15. 如图， $∠ B A C = 48 °$ 点O在边 $A B$ 上， $⊙ O$ 与边 $A C$ 相切于点D，交边 $A B$ 于点E，点F在弧 $B D$ 上，连接 $E F$ ， $D F$ ，则 $∠ F$ 等于．

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三、作图题

16. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A ， B ， C均为格点，且都在同一个圆上．

(1)、AB的长度等于；

(2)、请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线CD ，并简要说明点D的位置是如何找到的．
．

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17. 如图，△ABC是锐角三角形，请作⊙A，使它与BC相切于点M.（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

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18. 如图，点P是⊙O上一点，请用尺规过点P作⊙O的切线（不写画法，保留作图痕迹）．

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四、解答题

19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $O$ 作 $O C ⊥ A B$ ，垂足为 $C$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $O C$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $O B$ ．

(1)、求证： $∠ B = ∠ D$ ；

(2)、延长 $B O$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ， $C E$ ，若 $A D = 2 \sqrt{5}$ ， $s i n B = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求 $C E$ 的长．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A C$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $A B$ 交于点D，过点B作 $B E ∥ A C$ ，与过点C的 $⊙ O$ 的切线相交于点E.求证： $B D = B E$ .

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21. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C ， D$ 在 $⊙ O$ 上，且点C是 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，连接 $A C$ ，过点C作 $⊙ O$ 的切线 $E F$ 交射线 $A D$ 于点E. 连接 $B C$ ，已知 $A E = \frac{16}{5}$ ， $A B = 5$ ，试求线段 $B C$ 的长.

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五、综合题

22. 如图，直线 $A C$ 与 $⊙ O$ 相切于点C ，射线 $A O$ 与 $⊙ O$ 交于点D ， E ，连结 $C D$ ．连结 $C E$ ．

(1)、求证： $∠ A C D = ∠ E$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{3}$ ， $A D = 1$ ，求弧 $C D$ 的长．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C ， D$ 在 $⊙ O$ 上， $B C ∥ E D$ ，过点 $D$ 的切线与 $A B$ 的延长线相交于点 $E$ ， $C B$ 与 $O D$ 相交于点 $F$ ．

(1)、求证： $C A ∥ D O$ ；

(2)、若 $A B = 10$ ， $D B = 2 \sqrt{5}$ ，求 $B E$ 的长．

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24. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以 $B C$ 为直径的⊙O交 $A B$ 于点D，切线 $D E$ 交 $A C$ 于点E．

(1)、求证： $A E = D E$ ．

(2)、若 $A D = 8$ ， $D E = 5$ ，求 $B C$ 的长．

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25. 挡车器是安全停车的好妿手，车轮与挡车器斜面相切为挡车有效状态．如图，某挡车器的横截面是等腰梯形ABCD，车轮⊙O与地面相切于点E，与挡车器斜面恰好相切于点A，点O，A，B，E再同一平面内．

(1)、判断∠ABC与∠AOE的关系，并说明理由；

(2)、测得挡车器腰长AB＝10cm， $c o s ∠ A B C = \frac{4}{5}$ ，求车轮⊙O的直径．

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