【北师大版·数学】2024年中考一轮复习之垂线段最短

试卷更新日期：2023-11-05 类型：一轮复习

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一、选择题

1. 如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（）的长度，这样测量的依据是（）

A、 $A M$ ，两点之间，线段最短 B、 $A M$ ，两点确定一条直线 C、 $B N$ ，垂线段最短 D、 $B N$ ，三角形两边之和大于第三边

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2. 如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）

A、垂线段最短 B、两点确定一条直线 C、两点之间，线段最短 D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

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3. 如图，从人行横道线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，其依据的数学道理是（）

A、垂线段最短 B、两点之间线段最短 C、两点确定一条直线 D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

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4. 如图所示，△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论：①BC＞CD；②AC＞AD；③AB＞AC；④BC＞AD．正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，在平面内过点O作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）

A、0条 B、1条 C、2条 D、无数条

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 是 $A B$ 上的动点，则 $C P$ 的最小值为（）

A、 $5$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $6$

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7. 点A为直线 $B C$ 外一点， $A C ⊥ B C$ 于点C， $A C = 6$ ．点P是直线 $B C$ 上的动点，则线段 $A P$ 长可能是（）

A、1 B、3 C、5 D、7

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8. 如图， $⊙ O$ 的半径为 $5 c m$ ，弦 $A B = 8 c m$ ， $P$ 是弦 $A B$ 上的一个动点，则 $O P$ 的长度范围是（）

A、 $8 \leq O P \leq 10$ B、 $5 \leq O P \leq 8$ C、 $4 \leq O P \leq 5$ D、 $3 \leq O P \leq 5$

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9. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，点P为 $B C$ 边上任意一点，连接 $P A$ ，以 $P A$ ， $P C$ 为邻边作 $▱ P A Q C$ ，连接 $P Q$ ，则 $P Q$ 长度的最小值为（）

A、 $3$ B、 $2.5$ C、 $2.4$ D、 $2$

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点E，F，再分别以E、F为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧相交于点O，P为射线 $A O$ 上任意一点，过点P作 $P M ⊥ A C$ ，交 $A C$ 于点M，连接 $P C$ ，若 $A C = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则 $P M + P C$ 长度的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{21}$ B、 $\frac{2 \sqrt{21}}{7}$ C、4 D、 $k_{M A} \cdot k_{M B} = - \frac{1}{2}$

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二、填空题

11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 4$ ，按下列步骤作图：①在 $A C$ 和 $A B$ 上分别截取 $A D$ 、 $A E$ ，使 $A D = A E$ ． ②分别以点D和点E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点M ． ③作射线 $A M$ 交 $B C$ 于点F ．若点P是线段 $A F$ 上的一个动点，连接 $C P$ ，则 $C P + \frac{1}{2} A P$ 的最小值是．

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12. 如图，在直角坐标系中， $A (- 4 ， 0)$ ， D是 $O A$ 上一点，B是y正半轴上一点，且 $O B = A D$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E ，

(1)、当D是 $O A$ 的中点时， $D E =$ ；

(2)、求 $O E$ 的最小值

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4$ ， $∠ A = 60 °$ ， $B D ⊥ A C$ 交 $A C$ 于点D ， P为线段 $B D$ 上的动点，则 $P C + \frac{1}{2} P B$ 的最小值为．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $M$ 为对角线 $B D ($ 不含点 $B)$ 上任意一点，则 $A M + \frac{1}{2} B M$ 的最小值为．

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15. 在直角坐标系中，O为原点，P是直线y=-x+4上的动点，则|OP|的最小值为

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三、作图题

16. 如图是 $4 \times 4$ 的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)、在图1中作锐角 $△ A B C$ ，使点C在格点上；

(2)、在图2中的线段 $A B$ 上作点Q，使 $P Q$ 最短．

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四、解答题

17. 如图，在△ABC中，点P是BC边上的动点，点M是AP的中点，PD⊥AB ，垂足为D ， PE⊥AC ，垂足为E ，连接MD ， ME ．
（Ⅰ）求证：∠DME＝2∠BAC；

（Ⅱ）若∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝ $6 \sqrt{2}$ ，连接DE ，求△MDE周长的最小值．

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五、综合题

18. 【综合与实践】我国海域的岛屿资源相当丰富，总面积达72800多平方公里，有人居住的岛屿达450个.位于北部湾的某小岛，外形酷似橄榄球，如图10-1所示.
如图10-2所示，现把海岸线近似看作直线m，小岛面对海岸线一侧的外缘近似看作
AB，经测量，AB的长可近似为250π海里，它所对的圆心角（∠AOB）的大小可近似为90°.（注：AB在m上的正投影为图中线段CD，点O在m上的正投影落在线段CD上.）

(1)、求AB的半径r；

(2)、因该岛四面环海，淡水资源缺乏，为解决岛上居民饮用淡水难的问题，拟在海岸线上，建造一个淡水补给站，向岛上居民输送淡水.为节约运输成本，要求补给站到小岛外缘AB的距离最近（即，要求补给站与AB上的任意一点，两点之间的距离取得最小值.）；
请你依据所学几何知识，在图10-2中画出补给站位置及最短运输路线.（保留画图痕迹，并做必要标记与注明；不限于尺规作图，不要求证明.）

(3)、如图10-3，若测得AC长为600海里，BD长为500海里，试求出（2）中的最小距离。

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19. 如图

(1)、如图①，O为AB的中点，直线l₁、l₂分别经过点O、B，且l₁∥l₂ ，以点O为圆心，OA长为半径画弧交直线l₂于点C，连接AC.求证：直线l₁垂直平分AC；

(2)、如图②，平面内直线l₁∥l₂∥l₃∥l₄ ，且相邻两直线间距离相等，点P、Q分别在直线l₁、l₄上，连接PQ.用圆规和无刻度的直尺在直线l₄上求作一点D，使线段PD最短.（两种工具分别只限使用一次，并保留作图痕迹）

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20. 如图，一艘渔船位于小岛 $B$ 的北偏东30°方向，距离小岛 $80 n mile$ 的点 $A$ 处，它沿着点 $A$ 的南偏东15°方向航行.

(1)、渔船航行多远与小岛 $B$ 的距离最近？（结果保留根号）

(2)、渔船到达距离小岛 $B$ 最近点后，按原航向继续航行 $40 \sqrt{6} n mile$ 到点 $C$ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $B$ 上的救援队求救，问：救援队从 $B$ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）

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21. 如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE ， ∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B ， C重合），点B ， E在AD异侧，I为△APC的内心．

(1)、求证：∠BAD＝∠CAE；

(2)、设AP＝x ，请用含x的式子表示PD ，并求PD的最大值；

(3)、当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m ， n的值．

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