备考2024年浙江中考数学一轮复习专题2.1无理数与实数基础夯实

试卷更新日期：2023-11-05 类型：一轮复习

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. -3，4，0， $\sqrt{2}$ 这四个数中，无理数是（）

A、-3 B、4 C、0 D、 $\sqrt{2}$

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2. 下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{10} \div \sqrt{5} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{9} = \pm 3$ C、 ${(- \sqrt{2})}^{2} = 2$ D、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、4的平方根是2 B、8的立方根是±2 C、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0或1 D、如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0

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4. 下列说法中：①立方根等于本身的是-1，0，1； ②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数； ④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤ $\frac{π}{- 3}$ 是负分数；其中正确的个数是（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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5. 如图，实数- $\sqrt{2}$ +1在数轴上的对应点可能是（）

A、A点 B、B点 C、C点 D、D点

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6. 若 $| x - y | - | x - z | = | y - z |$ ，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（）

A、 $x > y > z$ B、 $z > y > x$ C、 $y > x > z$ D、 $x > z > y$

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7. 数轴上依次排列的四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，若|a-c|=6，|a-d|=10，|b-d|=5，则|b-c|的值为（）．

A、6 B、5 C、4 D、1

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8. 一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )

A、2与3之间 B、3与4之间 C、4与5之间 D、5与6之间

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9. 如图，已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简 $\sqrt{(a - 2)^{2}}$ 的结果是（）

A、a-2 B、-a-2 C、1 D、2-a

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10. 按顺序排列的若干个数： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， ……， $x_{n}$ （n是正整数），从第二个数 $x_{2}$ 开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即： $x_{2} = \frac{1}{1 - x_{1}}$ ， $x_{3} = \frac{1}{1 - x_{2}}$ ……，下列选项正确是（）
①若 $x_{2} = 5$ ，则 $x_{7} = \frac{4}{5}$ ；②若 $x_{1} = 2$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + ⋯ + x_{2023} = 1013$ ；③若 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) x_{6} = - 1$ ，则 $x_{1} = \sqrt{2}$

A、①和③ B、②和③ C、①和② D、①②③都正确

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 比较大小：7-4 $\sqrt{3}$ 0． (填“<”“>”或“=”)

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12. 已知一个立方体的体积是 $27 c m^{3}$ ，那么这个立方体的棱长是 $c m$ .

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13. 若 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 3$ ，则 $x + y$ 的立方根是.

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14. 若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为 $\sqrt{2}$ ，则 $2022 a + 2021 b + m n b + k^{2}$ 的值为．

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15. 对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ $\sqrt{3}$ ]=1．现对72进行如下操作：72 $\underset{\to}{第一次}$ [ $\sqrt{72}$ ]=8 $\underset{\to}{第二次}$ [ $\sqrt{8}$ ]=2 $\underset{\to}{第三次}$ [ $\sqrt{2}$ ]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．

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16. 电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足关系式 $Q = I^{2} R t$ ．已知导线的电阻为10Ω，通电2s时间导线产生90J的热量，则电流I为A．

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三、计算题（共6分）

17. 计算：

(1)、 $(\sqrt{18} - \sqrt{12}) \times \sqrt{3}$ ；

(2)、 $(\sqrt{3} + 1)^{2} - (1 - \sqrt{5}) (\sqrt{5} + 1)$ .

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四、作图题（共9分）

18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：

(1)、在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)、在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；

(3)、在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）.

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五、解答题（共4题，共32分）

19. 把下列各数分别填在相应的括号内．
﹣ $\frac{1}{2}$ ， 0，0.16， $3 \frac{1}{2}$ ， $\sqrt{3}$ ， ﹣ $\frac{2}{3} \sqrt{5}$ ， $\frac{π}{3}$ ， $\sqrt{16}$ ， ﹣ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， ﹣3.14
有理数：{   }；
无理数：{   }；
负实数：{   }；
正分数：{   }．

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20.

(1)、先化简，再求值．
已知 $a = 1$ ， $b = - 2$ ，求多项式 $3 a b - 15 b^{2} + 5 a^{2} - 6 b a + 15 a^{2} - 2 b^{2}$ 的值．

(2)、在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“ $<$ ”连接．
$- 1.5$ ， $- 2^{2}$ ， $- （ - 4 ）$ ， $0$ ， $- | - 3 |$ ， $\sqrt{9}$

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21. 如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数， $2 a + 9$ 是27的立方根.

(1)、求a，b的值及线段 $A B$ 的长.

(2)、点P在射线 $B A$ 上，它在数轴上对应的数为x.
①请用含x的代数式表示线段 $B P$ 的长.
②当x取何值时， $B P = 2 A P$ ？

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22. 解答下列各题：

(1)、计算： $\sqrt{{(- 10)}^{2}} - {(\sqrt{15})}^{2} + \sqrt{64}$ ．

(2)、已知点 $A (2 ， 1)$ ， $B (- 4 ， a)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，试求a的值．

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六、实践探究题（共3题，共25分）

23. 数学活动课上，张老师说：“ $\sqrt{2}$ 是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把 $\sqrt{2}$ 的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（ $\sqrt{2}$ -1）表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”请你解答：

(1)、 $\sqrt{5}$ 的整数部分是，小数部分是．

(2)、已知 $8 + \sqrt{3} = x + y$ ，其中x是一个整数，且0＜y＜1，请求出 $3 x + (y - \sqrt{3})^{2020}$ 的值．

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24. 对于任何实数 $a$ ，可用 $[a]$ 表示不超过 $a$ 的最大整数，如 $[4.1] = 4$ .

(1)、则 $[11.8] =$ ； $[- 11.9] =$ ；

(2)、现对119进行如下操作： $119 \overset{第一次}{\to} [\sqrt{119}] = 10 \overset{第二次}{\to} [\sqrt{10}] = 3 \overset{第三次}{\to} [\sqrt{3}] = 1$ ，这样对119只需进行3次操作后变为1.
$①$ 对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；

$②$ 对实数 $m$ 恰进行2次操作后变成1，则 $m$ 最小可以取到 ▲ ；

$③$ 若正整数 $m$ 进，3次操作后变为1，求 $m$ 的最大值.

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25. 阅读材料：若点 $M$ ， $N$ 在数轴上分别表示实数 $m$ ， $n$ ，那么 $M$ ， $N$ 之间的距离可表示为 $| m - n |$ .例如 $| 3 - 1 |$ ，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样： $| 5 + 3 | = | 5 - (- 3) |$ 表示5， $- 3$ 在数轴上对应的两点之间的距离.根据以上信息，完成下列题目：

(1)、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 为数轴上三点，点 $A$ 对应的数为 $\sqrt{2}$ ，点 $C$ 对应的数为1.
①若点 $B$ 对应的数为 $- 2$ ，则 $B$ ， $C$ 两点之间的距离为；

②若点 $A$ 到点 $B$ 的距离与点 $A$ 到点 $C$ 的距离相等，则点 $B$ 对应的数是 .

(2)、对于 $| x - 3 | + | x + 4 |$ 这个代数式.
①它的最小值为；

②若 $| x - 3 | + | x + 4 | + | y - 1 | + | y + 2 | = 10$ ，则 $x + y$ 的最大值为 .

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一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、计算题（共6分）

四、作图题（共9分）

五、解答题（共4题，共32分）

六、实践探究题（共3题，共25分）

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