人教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟试题一（吉林地区专用）

试卷更新日期：2023-11-03 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 关于x的方程 $(a - 1) x^{2} + 3 x - 2 = 0$ 是一元二次方程的条件是（）

A、 $a \neq 0$ B、 $a = 1$ C、 $a \neq 1$ D、a为任意实数

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2. 若方程 $m x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 1$ B、 $m \leq 1$ 且 $m \neq 0$ C、 $m ＜ 1$ D、 $m ＜ 1$ 且 $m \neq 0$

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3. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 10 = 0$ 的两个实根，则 ${x_{1}}^{3} - 10 x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、21

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4. 下列关于抛物线 $y = 3 (x - 2)^{2} + 1$ 的说法，正确的是（）

A、开口向下 B、顶点坐标是 $(- 2 ， 1)$ C、有最小值 $y = 1$ D、对称轴是直线 $x = - 2$

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5. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的一部分，其对称轴为 $x = - 1$ ，且过点 $(- 3 ， 0) .$ 下列说法：

$① a b c < 0$ ； $② 2 a - b = 0$ ； $③ 4 a + 2 b + c < 0$ ； $④$ 若 $(- 5 ， y_{1})$ ， $(\frac{5}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ．

其中说法正确的是（）

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $① ② ④$ D、 $② ③ ④$

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6. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则不等式 $a {(x - 2)}^{2} + b (x - 2) + c < 0$ 的解集为（　　）

A、 $x < 1$ 或 $x > 3$ B、 $x > 3$ C、 $x < - 1$ D、 $x < 3$ 或 $x > 5$

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7. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A B' C'$ ，若 $B'$ 落到 $B C$ 边上， $∠ B = 50 °$ ，则 $△ A B C$ 旋转的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $130 °$

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8. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $△ A D E$ ，若 $∠ E = 70 °$ 且 $A D ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为（）

A、 $65 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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二、填空题

9. 已知 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ .

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10. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ 的两根，则该等腰三角形的周长为.

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11. 已知函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} + 1} + 5 x + 3$ 是关于x的二次函数，则m的值为．

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12. 如图所示，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为点 $P (- 2 ， 2)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A (0 ， 3) .$ 若平移该抛物线使其顶点 $P$ 由 $(- 2 ， 2)$ 移动到 $P' (1 ， - 1)$ ，此时抛物线与 $y$ 轴交于点 $A'$ ，则 $A A'$ 的长度为．

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13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ .矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转一定角度得到矩形 $A B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ .若点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在边 $C D$ 上，则 $B^{'} C$ 的长为.

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14. 若点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，则m＋n＝．

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三、解答题

15. 用公式法解方程：x²-2x=2

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16. 若二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 图像经过 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， - 4)$ 两点，求b、c的值.

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17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C A B = 7 5^{∘}$ ，在同一平面内，将 $Δ A B C$ 绕点A旋转到 $Δ A B^{'} C^{'}$ 的位置，使得 $C C^{'}$ ∥ $A B$ ，求 $∠ B A B^{'}$ 的度数．

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18. 解读诗词(通过列方程算出周瑜去世时的年龄)：大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，个位数字的平方等于他去世时的年龄.

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19. 小敏与小霞两位同学解方程

3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}

的过程如下框：

小敏：

两边同除以 $(x - 3)$ ，得

$3 = x - 3$ ，

则 $x = 6$ ．

小霞：

移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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20. 二次函数y＝-x²+bx+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（-2，0）．

(1)、求b，c的值；

(2)、直接写出这个二次函数的顶点坐标．

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21. 某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长＞50m），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m，设两饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m²）

(1)、求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围；

(2)、若要使两间饲养室占地总面积达到200m² ，则x为多少？占地总面积有可能达到210m²吗？

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22. 如图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面 $O A$ 宽 $4 m$ ，从O、A两处观测P处，仰角分别为 $α$ 、 $β$ ．且 $t a n α = \frac{1}{2}$ ， $t a n β = \frac{3}{2}$ ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．若水面上升 $1 m$ ，水面宽为多少？

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23. 如图，将矩形 $A B C D$ 绕点A顺时针旋转得到矩形 $A B^{^{'}} C^{^{'}} D^{^{'}}$ ，点C的对应点 $C^{'}$ 恰好落在 $C B$ 的延长线上，求证： $B C = B C^{'}$ ．

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24. 如图，四边形ABCD是正方形．△ABE是等边三角形，M为对角线 BD(不含B，D点)上任意一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接 EN，AM、CM．请判断线段 AM 和线段 EN 的数量关系，并说明理由．

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