广东省广州市重点中学2023-2024学年高二上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 的倾斜角为（）

A、30° B、150° C、120° D、60°

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2. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 5)$ ， $\vec{b} = (1 ， x ， - 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $1$ C、 $4$ D、 $2$

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3. 如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， x ， y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，那么实数 $x + y$ 等于（）

A、 $3$ B、 $- 3$ C、 $9$ D、 $- 9$

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5. 点 $O$ 为空间任意一点，若 $\vec{O P} = \frac{3}{4} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + \frac{1}{8} \vec{O C}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 四点（）

A、一定不共面 B、一定共面 C、不一定共面 D、无法判断

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6. 已知 $△ A B C$ 的三边上高的长度比分别为 $1$ ： $\sqrt{2}$ ： $2$ ，若 $△ A B C$ 的最短边与最长边的长度和为 $6$ ，则 $△ A B C$ 面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2$

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7. 已知三棱锥 $O - A B C$ 中， $O A ⊥ O B$ ， $O B ⊥ O C$ ， $O C ⊥ O A$ ，且 $O A = 1$ ， $O B = 2$ ， $O C = 2$ ，则点 $A$ 到直线 $B C$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $3$

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8. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在 $B D$ 上，点 $F$ 在 $C B_{1}$ 上，则 $E F$ 的最小值为（）

A、 $1$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一组基，下列向量中，可以与 $2 \vec{a} - \vec{b} ， \vec{a} + \vec{b}$ 构成空间的一组基的向量是（）

A、 $2 \vec{a}$ B、 $- \vec{b}$ C、 $\vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{c}$

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10. 在下列四个命题中，错误的有（）

A、坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B、直线的倾斜角的取值范围是 $[0 ， π)$ C、若一条直线的斜率为 $\tan α$ ，则此直线的倾斜角为 $α$ D、若一条直线的倾斜角为 $α$ ，则此直线的斜率为 $\tan α$

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11. 下列命题中，正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ B、在锐角 $△ A B C$ 中，不等式 $s i n A > c o s B$ 恒成立 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 必是等腰直角三角形 D、在 $△ A B C$ 中，若 $B = 60 °$ ， $b^{2} = a c$ ，则 $△ A B C$ 必是等边三角形

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = \sqrt{2}$ ， $P$ 为线段 $B C_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $B_{1} D ⊥ A_{1} P$ B、 $D P / /$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积为定值 $\sqrt{2}$ D、 $A_{1} P + P C$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2 ， 1) ， \vec{b} = (1 ， 0 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为．

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14. 直线 $m x + y - m - 1 = 0$ 恒过定点．

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15. 函数 $y = A s i n (ω x + ϕ) (A > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为．

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16. 点 $M$ 、 $N$ 分别是正四面体 $A B C D$ 棱 $B C$ 、 $A D$ 的中点，则 $cos 〈 \vec{A M} ， \vec{C N} 〉 =$ ．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $| 3 \vec{a} - 4 \vec{b} |$ ．

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18. 已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，且 $\vec{O M} = 2 \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ ， $\vec{O A} = 3 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $\vec{O B} = 2 \vec{a} + 4 \vec{b} + 2 \vec{c}$ ， $\vec{O C} = - \vec{a} + 2 \vec{b} + 3 \vec{c}$ ．

(1)、求证： $M$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面；

(2)、 ${\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}}$ 能否作为空间的一个基底？若能，试用这一基底表示 $\vec{O M}$ ；若不能，请说明理由．

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19. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b c o s C = 2 a + c$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，且 $B D = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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20. 已知在多面体 $A B C D E$ 中， $D E / / A B$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $A B = 2 D E$ ， $D A = D C$ 且平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、设点 $F$ 为线段 $B C$ 的中点，试证明 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线 $B E$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $60 °$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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21. 已知直线 $l$ 过定点 $A (2, 1)$ .

(1)、若直线 $l$ 与直线 $x + 2 y - 5 = 0$ 垂直，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程.

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22. 如图， $P$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $A C$ 为底面直径， $△ A B D$ 为底面圆 $O$ 的内接正三角形，且边长为 $\sqrt{3}$ ，点 $E$ 在母线 $P C$ 上，且 $A E = \sqrt{3}$ ， $C E = 1$ ．

(1)、求证：直线 $P O / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求证：平面 $B E D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(3)、若点 $M$ 为线段 $P O$ 上的动点，当直线 $D M$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值最大时，求此时点 $M$ 到平面 $A B E$ 的距离．

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