辽宁省丹东市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $6$ 的相反数是（）

A、 $6$ B、 $- 6$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{6}$

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2. 如图所示的几何体是由 $5$ 个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $(3 x y)^{2} = 9 x^{2} y^{2}$ B、 $(y^{3})^{2} = y^{5}$ C、 $x^{2} \cdot x^{2} = 2 x^{2}$ D、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$

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4. 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对 $4$ 名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：

甲
乙
丙
丁
平均数 $/ c m$
          $169$
          $168$
          $169$
          $168$
方差
          $6.0$
          $17.3$
          $5.0$
          $19.5$
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ， $D E / / A C$ ，交 $B C$ 于点 $E .$ 若 $∠ A = 50 °$ ，则 $∠ C D E$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $40 °$ C、 $45 °$ D、 $50 °$

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6. 如图，直线 $y = a x + b (a \neq 0)$ 过点 $A (0 ， 3)$ ， $B (4 ， 0)$ ，则不等式 $a x + b > 0$ 的解集是（）

A、 $x > 4$ B、 $x < 4$ C、 $x > 3$ D、 $x < 3$

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7. 在一个不透明的袋子中，装有 $3$ 个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为 $\frac{1}{4}$ ，则袋中黑球的个数为（）

A、 $1$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $9$

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8. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，以点 $B$ 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F$ ，分别以 $E$ ， $F$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} E F$ 长为半径作弧，两弧在 $∠ A B C$ 内交于点 $P$ ，作射线 $B P$ ，交 $A D$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 的延长线于点 $H .$ 若 $A B = A G = 4$ ， $G D = 5$ ，则 $C H$ 的长为（）

A、 $6$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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9. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $∠ A B D = 60 °$ ， $A E ⊥ B D$ ，垂足为点 $E$ ， $F$ 是 $O C$ 的中点，连接 $E F$ ，若 $E F = 2 \sqrt{3}$ ，则矩形 $A B C D$ 的周长是（）

A、 $16 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{3} + 4$ C、 $4 \sqrt{3} + 8$ D、 $8 \sqrt{3} + 8$

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10. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点，对称轴为直线 $x = - 1$ ，其部分图象如图所示，则以下 $4$ 个结论： $① a b c > 0$ ； $② E (x_{1} ， y_{1})$ ， $F (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 上的两个点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} < - 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ； $③$ 在 $x$ 轴上有一动点 $P$ ，当 $P C + P D$ 的值最小时，则点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{7} ， 0)$ ； $④$ 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b (x - 2) + c = - 4 (a \neq 0)$ 无实数根，则 $b$ 的取值范围是 $b < 1 .$ 其中正确的结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11. 地球上的海洋面积约为 $361000000 k m^{2}$ ，将数据 $361000000$ 用科学记数法表示为．

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12. 因式分解： $y^{3} - 16 y =$ ．

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13. 某青年排球队有

12

名队员，年龄的情况如下表：

年龄 $/$ 岁	$18$	$19$	$20$	$21$	$22$
人数	$3$	$5$	$2$	$1$	$1$

则这 $12$ 名队员年龄的中位数是岁 $.$

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14. 若代数式 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则实数 $x$ 的取值范围是．

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15. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 > 5 \\ - x < - 6 \end{array}$ 的解集是．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上， $A E$ 与 $B F$ 相交于点 $G$ ，若 $B E = C F = 5$ ，则 $B G$ 的长为．

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17. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上一点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ x$ 轴，垂足为点 $C$ ，延长 $A C$ 至点 $B$ ，使 $B C = 2 A C$ ，点 $D$ 是 $y$ 轴上任意一点，连接 $A D$ ， $B D$ ，若 $△ A B D$ 的面积是 $6$ ，则 $k =$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 是坐标原点，已知点 $A (3 ， 0)$ ， $B (0 ， 4)$ ，点 $C$ 在 $x$ 轴负半轴上，连接 $A B$ ， $B C$ ，若 $t a n ∠ A B C = 2$ ，以 $B C$ 为边作等边三角形 $B C D$ ，则点 $C$ 的坐标为；点 $D$ 的坐标为．

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三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 先化简，再求值：
$(\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1} - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{3}{x - 1}$ ，其中 $x = (\frac{1}{2})^{- 1} + (- 3)^{0}$ ．

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20. 为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动 $.$ 该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级： $A ($ 优秀 $)$ ， $B ($ 良好 $)$ ， $C ($ 一般 $)$ ， $D ($ 不合格 $)$ ，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：

(1)、这次抽样调查共抽取人，条形统计图中的 $m =$ ；

(2)、将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求 $C$ 等所在扇形圆心角的度数；

(3)、该校有 $1200$ 名学生，估计该校学生答题成绩为 $A$ 等和 $B$ 等共有多少人；

(4)、学校要从答题成绩为 $A$ 等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．

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21. “畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为 $36$ 米的桥梁进行重新改造 $.$ 为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了 $50 %$ ，结果提前 $2$ 天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？

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22. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是 $⊙ O$ 的弦，点 $P$ 是 $⊙ O$ 外的一点， $P C ⊥ A B$ ，垂足为点 $C$ ， $P C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ，连接 $P D$ ，且 $P D = P E$ ，延长 $P D$ 交 $B A$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $P D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D F = 4$ ， $P E = \frac{7}{2}$ ， $c o s ∠ P F C = \frac{4}{5}$ ，求 $B E$ 的长．

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23. 一艘轮船由西向东航行，行驶到 $A$ 岛时，测得灯塔 $B$ 在它北偏东 $31 °$ 方向上，继续向东航行 $10 n m i l e$ 到达 $C$ 港，此时测得灯塔 $B$ 在它北偏西 $61 °$ 方向上，求轮船在航行过程中与灯塔 $B$ 的最短距离 $. ($ 结果精确到 $0.1 n m i l e) ($ 参考数据： $s i n 31 ° \approx 0.52$ ， $c o s 31 ° \approx 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60$ ， $s i n 61 ° \approx 0.87$ ， $c o s 61 ° \approx 0.48$ ， $t a n 61 ° \approx 1.80)$ ．

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24. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克 $4$ 元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克 $7$ 元的价格销售 $.$ 当每千克售价为 $5$ 元时，每天售出大米 $950 k g$ ；当每千克售价为 $6$ 元时，每天售出大米 $900 k g$ ，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量 $y (k g)$ 与每千克售价 $x ($ 元 $)$ 满足一次函数关系．

(1)、请直接写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到 $1800$ 元？

(3)、当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

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25. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 6$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点 $.$ 四边形 $D E F G$ 是菱形 $(D ， E ， F ， G$ 按逆时针顺序排列 $)$ ， $∠ E D G = 60 °$ ，且 $D E = 2$ ，菱形 $D E F G$ 可以绕点 $D$ 旋转，连接 $A G$ 和 $C E$ ，设直线 $A G$ 和直线 $C E$ 所夹的锐角为 $α$ ．

(1)、在菱形 $D E F G$ 绕点 $D$ 旋转的过程中，当点 $E$ 在线段 $D C$ 上时，如图 $①$ ，请直接写出 $A G$ 与 $C E$ 的数量关系及 $α$ 的值；

(2)、当菱形 $D E F G$ 绕点 $D$ 旋转到如图 $②$ 所示的位置时， $(1)$ 中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)、设直线 $A G$ 与直线 $C E$ 的交点为 $P$ ，在菱形 $D E F G$ 绕点 $D$ 旋转一周的过程中，当 $E F$ 所在的直线经过点 $B$ 时，请直接写出 $△ A P C$ 的面积．

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26. 抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 4 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图，点 $D$ 是抛物线上的一个动点，设点 $D$ 的横坐标是 $m (- 4 < m < 2)$ ，过点 $D$ 作直线 $D E ⊥ x$ 轴，垂足为点 $E$ ，交直线 $A C$ 于点 $F .$ 当 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段 $D F$ 的长；

(3)、若点 $P$ 是抛物线上的一个动点 $($ 点 $P$ 不与顶点重合 $)$ ，点 $M$ 是抛物线对称轴上的一个点，点 $N$ 在坐标平面内，当四边形 $C M P N$ 是矩形邻边之比为 $1$ ： $2$ 时，请直接写出点 $P$ 的横坐标．

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	甲	乙	丙	丁
平均数 $/ c m$	$169$	$168$	$169$	$168$
方差	$6.0$	$17.3$	$5.0$	$19.5$