吉林省长春市农安县2023-2024学年高三上学期数学零模调研试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | | x | < 3} ， B = {x | 2 - x > 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 3 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(0 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 3)$

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2. 复数z的虚部为1，且 $z i = \bar{z}$ ，则z＝（）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $- 1 + i$

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3. 若 $t a n θ = \sqrt{5}$ ，则 $c o s 2 θ$ ＝（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 下列函数中，既是偶函数又在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = {(\frac{1}{2})}^{| x |}$ B、 $y = | x | - x^{2}$ C、 $y = | x | - 1$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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5. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的顶点为O ，经过点 $A (x_{0} ， 2)$ ，且F为抛物线C的焦点，若 $| A F | = 3 | O F |$ ，则p＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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6. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 3)$ ，则向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为（）

A、 $135 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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7. 对于任意的 $a ， b \in R$ 且 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{a} > {(\frac{1}{2})}^{b}$ B、 $l o g_{2023} a > l o g_{2023} b$ C、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a^{2023} > b^{2023}$

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8. 2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示)．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105)（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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二、多选题

9. 设正实数 $x ， y$ 满足 $x + 2 y = 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值为6 B、 $x y$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ C、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最小值为2 D、 $x^{2} + 4 y^{2}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$

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10. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = C D = \sqrt{2}$ ， $A D = B C = A C = B D = \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $A B ⊥ C D$ B、三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ C、三棱锥 $A - B C D$ 外接球半径为 $\sqrt{6}$ D、异面直线 $A D$ 与 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$

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11. 已知 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{2 n + 1}$ 的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为 $1 ： 8$ ，则（）

A、 $n = 4$ B、展开式中所有项的系数和为 $1$ C、展开式中二项式系数和为 $2^{4}$ D、展开式中不含常数项

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12. 已知定义R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (6 - x) + f (3)$ ，又 $f (x + π)$ 的图象关于点 $(- π ， 0)$ 对称，且 $f (1) = 2022$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为12 B、 $f (2023) = - 2022$ C、 $f (\frac{1}{2} x - 1) + π$ 关于点 $(- 1 ， π)$ 对称 D、 $f (\frac{1}{2} x - 1) + π$ 关于点 $(2 ， π)$ 对称

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三、填空题

13. 若随机变量 $X \sim N (1 ， σ^{2}) ， P (X \leq 0) = 0.3$ ，则 $P (0 < X < 2) =$ .

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14. 某校在高二开展了选课走班的活动，已知该校提供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为.

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15. 函数 $f (x) = A c o s (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为.

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16. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > 0, b > 0)$ 的右顶点到其中一条渐近线的距离为 $\frac{b}{2}$ ，则双曲线的离心率为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $n a_{n + 1} = 3 (n + 1) a_{n}$ ．

(1)、证明： ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等比数列．

(2)、设 $b_{n} = \frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在① $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ， ② $a c o s B + b c o s A = 2 c c o s C$ ，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.
在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，设 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，满足 ▲ (填写序号即可)．
⑴求角C的大小；
⑵若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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五、证明题

19. 如图， $A B C D$ 是边长为3的正方形， $D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F // D E$ ， $D E = 3 A F$ ， $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $60 °$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - D$ 的余弦值.

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六、解答题

20. 移动支付在中国大规模推广五年之后，成功在10亿移动互联网用户中获得了九成的渗透率，这大约是中国自宽带和手机之后，普及率最高的一项产品，甚至，移动支付被视为新时代中国的四大发明之一.近日，lpsosChina针对第三方移动支付市场在一家大型超市进行了顾客使用移动支付情况的调查.调查人员从年龄在20岁到60岁的顾客中随机抽取了200人，得到如下数据：

年龄段人数类型	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60]$
使用移动支付	45	40	25	15
不使用移动支付	0	10	20	45

(1)、现从这200人中随机依次抽取2人，已知第1次抽到的人使用移动支付的条件下，求第2次抽到的人不使用移动支付的概率；

(2)、在随机抽取的200人中对使用移动支付的人群采用分层抽样的方式抽取25人做进一步的问卷调查再从这25人中随机选出3人颁发参与奖，设这3人中年龄在

[40 ， 50)

之间的人数为

X

，求

X

的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2 ， 0)$ ，且椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若动点 $P$ 在直线 $x = - 1$ 上，过 $P$ 作直线交椭圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，且 $P$ 为线段 $M N$ 的中点，再过 $P$ 作直线 $l ⊥ M N$ ，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x + a - a x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $[1 ， e]$ 上有且只有一个零点，求实数 $a$ 的范围.

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