广东省广州市越秀区2023-2024学年高三上学期数学10月月考试卷

试卷更新日期：2023-11-03 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设复数 $z$ 满足 $2 + z = (2 - z) i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 i$ B、 $- 2 i$ C、 $2 + 2 i$ D、 $2 - 2 i$

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2. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ， $N = {x | y = l g (x + 2) + l g (1 - x)}$ ，则 $N ∪ ∁_{R} M =$ （）

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- 2 ， 2]$ D、 $[- 1 ， 1)$

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3. 已知长方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $F$ 是 $A B$ 的中点，则 $\vec{E C} \cdot \vec{E F} =$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

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4. 若 $f (x) = 3 a - \frac{2}{3^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ （）

A、1 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，若椭圆上存在点 $P$ ，使得线段 $P F_{1}$ 被直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 垂直平分，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 设函数 $f (x) = l o g_{2} (a x - x^{2})$ 在区间 $(2 ， 3)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞ ， 4]$ B、 $[3 ， 4]$ C、 $[6 ， + \infty)$ D、 $[3 ， 6]$

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7. 已知 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，且 $3 c o s 2 α - 4 s i n α = 1$ ，则 $t a n 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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8. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4} ， \cdot \cdot \cdot$ ，得到数列 ${a_{n}}$ .设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} \geq a_{n} + 81$ 时，则 $n$ 的最小值为（）
（参考数据： $l g 4 \approx 0.60$ ， $l g 3 = 0.48$ ）

A、5 B、8 C、10 D、12

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - x + 1) e^{x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = 2 e x - e$ C、 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的值域为 $[3 e^{- 1} ， e]$ D、当 $a < 1$ 时，方程 $f (x) = a$ 有且仅有一解

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10. 已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2$ ，面 $P A C ⊥$ 面 $A B C$ ， $∠ A P C = 120 °$ ，点 $D$ 为 $A B$ 中点， $P D$ 与面 $A B C$ 所成的角为 $45 °$ ，则（）

A、 $B C ⊥ A B$ B、点 $C$ 到面 $P A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、三棱锥的侧面积为 $2 + 2 \sqrt{3}$ D、 $A P$ 与 $B C$ 所成角为 $30 °$

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11. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点， $M$ 为线段 $A B$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、此抛物线上与焦点 $F$ 的距离等于3的点的坐标是 $(2 ， 2 \sqrt{2})$ B、若 $| A B | = 8$ ，则点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为3 C、 $P$ 是准线上一点， $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点，若 $\vec{F P} = 4 \vec{F Q}$ ，则 $| F P | = 6$ D、 $9 | A F | + | B F | \geq 16$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数， $f (2 x + 1) - 1$ 是奇函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $f (0) = 0$ C、 $f (x)$ 是以4为周期的函数 D、 $f (x)$ 的图象关于 $x = 6$ 对称

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三、填空题

13. 记 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{4} + a_{5} = 24$ ， $S_{6} = 48$ ，则 $a_{n} =$ .

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14. 二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为.（用数字作答）

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15. 已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为.

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四、双空题

16. 函数 $f (x) = s i n ω x (ω > 0)$ ，将 $f (x)$ 的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的 $ω$ 倍，然后将所得图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ ，则化简后 $g (x) =$ ，若函数 $h (x) = f (g (x)) - 1$ 在 $(0 ， 2 π)$ 内恰有4个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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五、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = \sqrt{5}$ ， $c = \sqrt{2}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上的点，

(1)、若 $B D = 2 D C$ 且 $A D = \sqrt{2}$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、若 $c o s ∠ A D C = - \frac{4}{5}$ ， $B = 45 °$ ，求 $c o s ∠ D A C$ 的值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为梯形，其中 $A B ∥ C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A = A D = C D = 2$ ， $A B = 4$ ，点 $M$ 是 $P B$ 的中点.

(1)、证明： $P B = 2 C M$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - M$ 的正弦值.

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19. 已知函数 $f (x) = a l n (x + 1) - x$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) < (a - 1) l n a + a^{2}$ .

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六、证明题

20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + 1 ， n 为奇数 \\ 2 a_{n} ， n 为偶数 \end{array}$

(1)、记 $b_{n} = a_{2 n} + 1$ ，求证： ${b_{n}}$ 为等比数列；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足： $c_{1} = \frac{3}{2}$ ， $c_{n + 1} = c_{n} - \frac{l o g_{2} (a_{2 n - 1} + 2)}{b_{n}} (n \in N^{*})$ ，若不等式 $λ + \frac{3 n + 13}{2^{n}} \geq 4 c_{n} (n \in N^{*})$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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七、解答题

21. 为了保障学生的饮食安全和健康，学校对饭堂硬件和菜品均进行了改造升级，改造升级后的饭堂菜品受到了很多学生的欢迎，因此在学校饭堂就餐成为了很多学生的就餐选择.现将一周内在饭堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢饭堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢饭堂就餐”.学校为了解学生饭堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：
性别
饭堂就餐
合计
喜欢饭堂就餐
不喜欢饭堂就餐
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100

(1)、依据小概率值 $α = 0.005$ 的独立性检验，分析学生喜欢饭堂就餐是否与性别有关.

(2)、该校小林同学逢星期三和星期五都在学校饭堂就餐，且星期三会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期三选择了①号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为0.8；若星期三选择了②号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，求小林同学星期五选择②号套餐的概率.

(3)、用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢饭堂就餐”的人数为 $ξ$ ，事件“ $ξ = k$ ”的概率为 $P (ξ = k)$ ，求使 $P (ξ = k)$ 取得最大值时 $k$ 的值.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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22. 在一张纸上有一个圆 $C$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，圆心为点 $C$ ，定点 $M (2 ， 0)$ ，折叠纸片使圆 $C$ 上某一点 $M_{1}$ 好与点 $M$ 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 $P Q$ ，设折痕 $P Q$ 与直线 $M_{1} C$ 的交点为 $T$ .

(1)、求出点 $T$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若过点 $M$ 且斜率为 $k$ （ $k > \sqrt{3}$ 或 $k < - \sqrt{3}$ ）的直线 $l$ 交曲线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $Q$ 为 $x$ 轴上一点，满足 $| Q A | = | Q B |$ ，试问 $\frac{| A C | + | B C | - 4}{| Q M |}$ 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由

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性别	饭堂就餐		合计
性别	喜欢饭堂就餐	不喜欢饭堂就餐	合计
男生	40	10	50
女生	20	30	50
合计	60	40	100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828